[논문 리뷰] Upper bound by Kolmogorov complexity for the probability in computable POVM measurement

Kohtaro Tadaki|ArXiv.org|2002. 12. 11.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 양자 시스템에서 가чёт한 결과를 가진 임의의 계산 가능한 POVM 측정에 대해, 각 결과 $ s $ 의 확률이 $ 2^{-K(s)} $ 보다 작은 상한을 갖는다. 여기서 $ K(s) $ 는 결과 문자열 $ s $ 의 콜모고로프 복잡도이다. 이 결과는 고전적 보편 확률을 행렬 값 함수로 일반화하여, 이를 POVM으로 식별하고, 양자 측정 확률이 콜모고로프 복잡도에 의해 알고리즘적으로 제약을 받음을 보여준다.

ABSTRACT

We apply algorithmic information theory to quantum mechanics in order to shed light on an algorithmic structure which inheres in quantum mechanics. There are two equivalent ways to define the (classical) Kolmogorov complexity K(s) of a given classical finite binary string s. In the standard way, K(s) is defined as the length of the shortest input string for the universal self-delimiting Turing machine to output s. In the other way, we first introduce the so-called universal probability m, and then define K(s) as -log_2 m(s) without using the concept of program-size. We generalize the universal probability to a matrix-valued function, and identify this function with a POVM (positive operator-valued measure). On the basis of this identification, we study a computable POVM measurement with countable measurement outcomes performed upon a finite dimensional quantum system. We show that, up to a multiplicative constant, 2^{-K(s)} is the upper bound for the probability of each measurement outcome s in such a POVM measurement. In what follows, the upper bound 2^{-K(s)} is shown to be optimal in a certain sense.

연구 동기 및 목표

• 알고리즘 정보 이론을 사용하여 양자 측정의 알고리즘적 구조를 탐구한다.
• 고전적 문자열에 대한 보편 확률 개념을 행렬 값 함수를 통해 양자 측정으로 확장한다.
• 계산 가능한 POVM을 사용하여 측정 결과의 확률에 대한 기본 상한을 콜모고로프 복잡도를 통해 수립한다.
• 양자 측정 확률과 고전적 알고리즘적 확률 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 고전적 보편 확률 $ m(s) $ 을 행렬 값 함수 $ M(s) $ 로 일반화하여, 이 함수를 보편적인 준-POVM으로 식별한다.
• 유한 이진 문자열 $ s $ 로 레이블이 지정된 계산 가능한 POVM $ \{R(s)\} $ 을 통해 양자 측정을 정의한다.
• 관계식 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $ 를 사용한다. 여기서 $ P(s) $ 는 공정한 동전 뒤집기 프로그램 테이프에서 $ s $ 를 출력하는 보편 확률이다.
• 일부 상수 $ d $ 에 대해 $ -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) \geq K(s) - d $ 를 수립하여, $ 2^{-K(s)} $ 가 상수 인자에 따라 확률의 상한임을 보여준다.
• 행렬 값 보편 준-POVM $ M(s) $ 가 $ M(s) \sim m(s) I $ 를 만족함을 증명하여, 양자와 고전적 보편 확률을 연결한다.
• 보편 준-POVM 이 계산 가능한 유니터리 변환에 대해 불변임을 보여주며, 그 알고리즘적 보편성이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콜모고로프 복잡도는 계산 가능한 POVM 측정에서 결과의 확률을 어떻게 제약하는가?
• RQ2 고전적 보편 확률을 양자 측정을 기술하는 행렬 값 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 양자 측정 확률 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ 와 고전적 보편 확률 $ P(s) $ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 측정 결과 확률을 상한으로 제약하는 양자적 콜모고로프 복잡도의 유사체가 존재하는가?
• RQ5 계산 가능한 유니터리 불변성은 준-POVM 의 보편성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 차원 양자 시스템에서 임의의 계산 가능한 POVM 측정에 대해, 결과 $ s $ 의 확률은 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $ 를 만족한다. 여기서 $ c > 0 $ 이고, $ P(s) $ 는 공정한 동전 뒤집기 프로그램 테이프에서 $ s $ 를 출력하는 보편 확률이다.
• 결과 $ s $ 의 확률은 상수 인자에 따라 $ 2^{-K(s)} $ 로 상한이 제한된다. 즉, $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot 2^{-K(s)} $ 이다.
• 일부 상수 $ d $ 에 대해 부등식 $ K(s) - d \leq -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ 가 성립하며, 이는 $ 2^{-K(s)} $ 가 상수 인자에 따라 확률의 상한임을 보여준다.
• 보편 준-POVM 으로 정의된 행렬 값 함수 $ M(s) $ 는 $ M(s) \sim m(s) I $ 를 만족한다. 여기서 $ m(s) $ 는 고전적 보편 확률이다.
• 각 대각성분 $ M_{ii}(s) $ 와 정규화된 추적 $ \frac{1}{N} \operatorname{tr}(M(s)) $ 는 모두 보편 확률이므로, 보편 준-POVM 이 계산 가능하지 않음을 의미한다.
• 보편 준-POVM 은 계산 가능한 유니터리 변환에 대해 불변이다. 즉, $ U $ 가 계산 가능하면 $ U^\dagger M(s) U $ 도 보편 준-POVM 이다.