[논문 리뷰] Upper, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging and switching

Diego Barros, Christian Bonatti외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 19.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^3$에서 $C^1$-열린 벡터장 가중치에서 비특이 초구형 난류(루렌츠 유사) 및 초구형 말발굽 구조가 공존하고, 공액성에 의해 상호작용하거나, 공액성에 의해 역할을 바꾸며, 공액성에 의해 융합되는 구조를 보이는 $C^1$-열린 가중치를 제시한다. 핵심 기여는 반환 맵의 이터내이트 역학 기반으로 이러한 시스템의 완전한 위상적 분류를 제공하며, 반환 맵의 공액성이 위상적 동치를 완전히 결정함을 보여준다.

ABSTRACT

We present a slightly modified version of the well known "geometric Lorenz attractor". It consists in a C1 open set O of vector fields in R3 having an attracting region U containing: (1) a unique singular saddle point sigma; (2) a unique attractor Lambda containing the singular point; (3) the maximal invariant in U contains at most 2 chain recurrence classes, which are Lambda and (at most) one hyperbolic horseshoe. The horseshoe and the singular attractor have a collision along the union of 2 co-dimension 1 sub-manifolds which divide O in 3 regions. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 비특이 초구형 난류가 루렌츠 유형의 안정성 분리선의 상하 두 개의 안정성 분리선을 동시에 강하게 교차할 수 있는가를 조사한다.
• 동일한 난류 영역 내에서 비특이 초구형 난류와 초구형 말발굽 기하학이 공존할 경우의 위상적 및 역학적 행동을 이해한다.
• 공액성에 의해 발생하는 공차-1 분기 표면을 횡단할 때의 변형에 따라 난류와 말발굽 기하학이 융합되어 양면 루렌츠 난류가 되거나 역할을 교환하는 가능한 역학적 결과를 분류한다.
• 안정성 분리선의 이터내이트 구조가 공통인 경우, 최대 불변 집합 간의 위상적 공액성을 수립한다.
• 특이점의 안정성 다변수와의 교차를 기반으로 3차원 흐름에서 강력한 전이성 비특이 초구형 난류의 완전한 위상적 분류를 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 닫힌 3차원 다양체 위에서 $C^1$-열린 집합 $\mathcal{O}_1$를 구성하며, 이 집합은 공통된 난류 영역 $\mathcal{U}$를 포함하고 있으며, 이 영역 내에 유일한 루렌츠 유형의 안정성 분리선 $\sigma$를 포함한다.
• 전역적 단면 $\Sigma$를 사용하여 3차원 흐름을 $\Sigma$ 위의 1차원 반환 맵으로 축소시키며, 이 맵은 안정성 분리선 $\gamma^s_\pm$에서 불연속성을 가진다.
• 역학적 분석은 안정성 분리선 $\gamma^s_+$와 $\gamma^s_-$에 대한 궤도의 이터내이트를 통해 수행되며, 이는 단면을 구성요소로 나누는 역할을 한다.
• 반환 맵 간의 위상적 공액성은 안정성 분리선의 이터내이트를 일치시킴으로써 확립되며, 이는 구멍 뚫린 원 위의 증가하는 전단사 사상에 의해 방향을 유지하는 공액성을 보장한다.
• 이터내이트에 대한 유일한 할당을 활용하여 1차원 반환 맵 간의 공액성 $h$를 구성하며, 이터내이트 할당의 단조성에 기반한다.
• 반환 맵의 공액성 $h$를 흐름 궤도로 올려 기하학적 구조를 유지함으로써 전체 흐름 간의 전역적 위상 동치 $\mathbb{H}$를 구성하며, 불연속 집합 근처의 연속성과 역학적 구조를 유지한다.

Figure 1: (a) Local bifurcation at ${\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{1}\cap{\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{2}$ and (b) Global bifurcation

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원에서 비특이 초구형 난류가 루렌츠 유형의 안정성 분리선의 상부 및 하부 안정성 분리선을 동시에 강하게 교차할 수 있는가?
• RQ2 동일한 난류 영역 내에서 루렌츠 난류와 초구형 말발굽 기하학이 충돌할 경우 위상적으로 어떤 일이 일어나는가?
• RQ3 난류와 말발굽 기하학이 양면 루렌츠 난류로 융합되거나 역할을 교환할 때 역학적 행동은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 동일한 열린 가중치 내에서 한 벡터장의 최대 불변 집합이 다른 벡터장의 최대 불변 집합과 위상적으로 공액이 되는가?
• RQ5 안정성 분리선의 이터내이트 구조가 난류의 전역적 위상적 유형을 어느 정도 결정하는가?

주요 결과

• $\mathcal{O}_1$의 $C^1$-열린 집합은 최대 불변 집합이 최대 두 개의 체인 재진입 클래스를 포함하는 벡터장을 포함한다: 비특이 초구형 난류 $\Lambda$와 최대 하나의 초구형 말발굽.
• 난류가 $W^s_+(\sigma)$ 및 $W^s_-(\sigma)$ 둘 다를 교차하는 것은 반환 맵이 단면의 두 구성요소를 모두 커버하는 이터내이트를 가져야만 가능하다.
• 이 시스템은 두 개의 공차-1 부분다양체로 이루어진 충돌 경로를 형성하며, 이 경로를 횡단함으로써 난류와 말발굽 기하학이 양면 루렌츠 난류로 융합되거나 정체성이 바뀔 수 있다.
• 반환 맵 $f_X$와 $f_Y$ 간의 위상적 공액성은 안정성 분리선 $\gamma^s_\pm$의 이터내이트 일치와 동치이며, 이러한 공액성은 흐름의 전역적 위상 동치로 올려질 수 있다.
• $\mathcal{O}_1$ 내에서 $X$와 $Y$의 최대 불변 집합은 $\gamma^s_+$와 $\gamma^s_-$에 대해 동일한 이터내이트를 가질 때에만 항등사상에 가까운 공액성을 통해 위상적으로 동치이다.
• 이러한 구성은 안정성 분리선의 이터내이트 데이터가 난류의 위상적 유형을 완전히 결정함을 보여주며, 기호 역학 기반으로 완전한 분류를 수립한다.

Figure 4: (a) The cross-sections $\Sigma\cup D^{1}\cup D^{2}$ , (b) The image $P(\Sigma^{1}\cup\Sigma^{2})$ .