[논문 리뷰] Upper semi-continuity of random attractors and existence of invariant measures for nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equation with multiplicative noise

Jintao Wang, Chunqiu Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 01.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 60인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 다수의 소음이 있는 2차원 비국소 스토케스틱 스위프트-호헨버그 방정식에 대해 랜덤 애트랙터의 상부 반연속성과 에르고딕 불변 측도의 존재성을 확립한다. 수정된 스토케스틱 그론발의 정리와 해석적 반군 이론을 활용하여, 소음 강도 𝜖 → 0일 때 H₀²(U)에서 랜덤 애트랙터가 상부 반연속적으로 수렴하고, 양성 및 비음성 커널 모두에 대해 L²(U)에서 에르고딕 불변 측도가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we mainly study the long-time dynamical behaviors of 2D nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equations with multiplicative noise from two perspectives. Firstly, by adopting the analytic semigroup theory, we prove the upper semi-continuity of random attractors in the Sobolev space $H_0^2(U)$, as the coefficient of the multiplicative noise approaches zero. Then, we extend the classical "stochastic Gronwall's lemma", making it more convenient in applications. Based on this improvement, we are allowed to use the analytic semigroup theory to establish the existence of ergodic invariant measures.

연구 동기 및 목표

• 다수의 소음이 있는 2차원 비국소 스토케스틱 스위프트-호헨버그 방정식의 장기적 역학을 분석한다.
• 소음 계수 𝜖 → 0일 때, 소벨레프 공간 H₀²(U)에서 랜덤 애트랙터의 상부 반연속성을 확립한다.
• 크릴로프-보골료브 절차를 이용하여 스토케스틱 시스템에 대한 에르고딕 불변 측도의 존재성을 증명한다.
• 기존의 스토케스틱 그론발의 정리를 수정하여 다수의 소음과 L²(Ω) 강제항 하에서 H₀²(U)-노름 추정에 적용할 수 있도록 한다.
• 양성 커널(Gp)과 특수한 비음성 커널(Gn)이라는 두 가지 다른 커널 가정 하에서 두 결과가 모두 성립함을 보인다.

제안 방법

• 오르누슈타인-울렌벡 방정식의 해를 통해 SPDE (1.2)를 랜덤 PDE로 변환한다.
• 경계항 문제를 다루기 위해 H₀²(U) ∩ H⁴(U)에서 라플라스 연산자 Δ²의 분수거듭제곱에 대한 해석적 반군 이론을 적용한다.
• 정지시간 조건을 완화시켜 H₀²(U)-노름 추정이 가능한 새로운 형태의 스토케스틱 그론발의 정리(보조정리 4.2)를 개발한다.
• 마코프 전이 반군의 펠러 성질에 기반하여, L²(U)에서 불변 측도를 구성하기 위해 크릴로프-보골료브 절차를 사용한다.
• [24, 보조정리 11.12]와 크라인-밀만 정리를 적용하여, 불변 측도 집합의 극단점으로서 에르고딕 불변 측도의 존재성을 증명한다.
• 불변 측도 집합 I의 강한 수렴성과 닫힘성을 검증하여 컴actness를 확보하고, 크라인-밀만 추론에 필수적인 조건을 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 소음이 있는 비국소 스토케스틱 스위프트-호헨버그 방정식의 랜덤 애트랙터는 소음 강도 𝜖 → 0일 때 H₀²(U)에서 상부 반연속적으로 수렴하는가?
• RQ2 기존의 스토케스틱 그론발의 정리는 다수의 소음과 L²(Ω) 강제항 하에서 H₀²(U)-노름 추정에 적합하게 수정될 수 있는가?
• RQ3 양성 및 비음성 커널 가정 하에서 스토케스틱 시스템에 대해 에르고딕 불변 측도가 존재하는가?
• RQ4 스토케스틱 동역학계에서 랜덤 애트랙터와 불변 측도 집합 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 𝜖 → 0일 때 불변 측도 집합 Iₖ는 상부 반연속적인가, 그리고 결정론적 시스템의 불변 측도로 수렴하는가?

주요 결과

• 𝜖 → 0일 때 H₀²(U)에서 랜덤 애트랙터 Aₖ(ω)는 상부 반연속적임을 의미하며, 이는 장기적 역학이 결정론적 극한으로 안정화됨을 시사한다.
• H₀²(U)-노름 제어가 가능한 수정된 스토케스틱 그론발의 정리(보조정리 4.2)가 개발되었으며, 이는 짧은 시간 간격에서만 부등식 조건이 필요로 함을 의미한다.
• 0 < 𝜖 ≤ 1일 때, 양성 커널(Gp)과 특수한 비음성 커널(Gn) 조건 하에서 과정 Φₖ에 대해 L²(U)에서 에르고딕 불변 측도가 존재한다.
• 에르고딕 불변 측도의 존재성은 크릴로프-보골료브 절차를 통해 증명되었으며, 이는 펠러 성질과 불변 측도 집합의 컴팩트성에 기반한다.
• 불변 측도 집합 I는 비어 있지 않고, 볼록하며, 닫혀 있고, 강한 수렴성을 만족하여, 크라인-밀만 정리에 의해 극단점 즉, 에르고딕 불변 측도의 존재를 보장한다.
• 두 커널 유형 모두에서 결과가 성립하며, 핵심 추정식 (4.7)과 (4.33)이 적절히 조정되어 메서드의 강건성을 확인한다.