[논문 리뷰] Upper Semicontinuity of Random Attractors for Non-compact Random Dynamical Systems

Bixiang Wang|ArXiv.org|2009. 06. 18.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 30인용 수 59

한 줄 요약

이 논문은 소음 강도 $\epsilon \to 0$일 때 비유계 영역 $\mathbb{R}^{n}$ 위에서의 비결정론적 반응-확산 방정식에 대한 랜덤 아틀라서의 상부 반연속성을 확립한다. 유계 영역이 아닌 도메인에서 컴팩트 소볼레프 포함이 성립하지 않는 문제를 극복하기 위해 컷오프 기법을 활용한 균일한 원거리 추정을 도입함으로써, 편미분 방정식의 해가 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$-노름에서 거의 확실히 결정론적 아틀라서로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

The upper semicontinuity of random attractors for non-compact random dynamical systems is proved when the union of all perturbed random attractors is precompact with probability one. This result is applied to the stochastic Reaction-Diffusion with white noise defined on the entire space R^n.

연구 동기 및 목표

• 비유계 영역에서의 랜덤 편미분방정식에 대해 표준적인 컴팩트니스 추론이 실패하는 상황에서, 랜덤 아틀라서의 상부 반연속성을 확립하는 것.
• 표준적인 아틀라서 이론의 직접적 적용을 방해하는 $\mathbb{R}^n$에서의 비유계 소볼레프 포함의 부재를 다루는 것.
• 소음 강도 $\epsilon \to 0$일 때, 확률적 외란이 가해진 반응-확산 방정식에 대한 랜덤 아틀라서가 결정론적 아틀라서로 수렴함을 증명하는 것.
• 편미분 아틀라서 내의 해의 원거리 감쇠에 대한 균일한 추정을 개발하여, 전처리성(precompactness)을 보장하는 것.
• 랜덤 동역계 이론에서, 유계 영역에서의 상부 반연속성 이론을 비유계 영역으로 확장하는 것.

제안 방법

• 편미분 아틀라서 내의 해가 공간적으로 무한대에서 균일하게 퇴화됨을 보장하기 위해, 원거리에서의 해의 감쇠에 대한 균일한 추정을 도출하기 위해 컷오프 기법을 활용한다.
• 지수 감쇠와 $L^2(\mathbb{R}^n)$에서의 에너지 추정을 활용하여, 시간에 따른 $L^p$-노름에 대한 균일한 경계를 확립한다.
• 장기적인 해의 행동을 확률적 외란 하에서 제어하기 위해, 온화한 랜덤 집합과 흡수 집합의 개념을 적용한다.
• 와이너 과정이 오르누슈타인-울렌벡 변환을 통해 소음을 유도하는 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 위의 연속 랜덤 동역계(RDS) 이론을 활용한다.
• 편미분계와 비편미분계의 해를 비교하기 위해 차이 $W = u^\epsilon - u - \epsilon z(\theta_t\omega)$를 도입하고, $\|W\|^2$에 대한 미분부등식을 유도한다.
• 그론월라의 추정을 적용하여, $\|u^\epsilon(t,\omega,u_0^\epsilon) - u(t,u_0)\|_{L^2}$ 가 $\epsilon \to 0$일 때 컴팩트 시간 간격에서 균일하게 0으로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 영역 $\mathbb{R}^n$에서의 랜덤 편미분방정식에 대해, 랜덤 아틀라서의 상부 반연속성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 비유계 랜덤 동역계에서의 점근적 컴팩트니스를 증명할 때, 비유계 소볼레프 포함의 부재를 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 비유계 영역에서 편미분 아틀라서의 합집합의 전처리성을 보장하기 위해 필요한 균일한 추정은 무엇인가?
• RQ4 소음 강도 $\epsilon \to 0$일 때, 확률적 반응-확산 방정식의 랜덤 아틀라서가 결정론적 아틀라서로 수렴하는가?
• RQ5 해의 차이 $\|u^\epsilon - u\|_{L^2}$ 가 $\epsilon \to 0$의 극한에서 0으로 수렴하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 외란 아틀라서의 합집합이 거의 확실히 전처리성임이 보장될 경우, 비유계 랜덤 동역계에서의 랜덤 아틀라서의 상부 반연속성이 성립한다.
• 컷오프 기법을 통해 편미분 아틀라서 내의 해에 대한 균일한 원거리 추정이 확립되어, 함수가 공간적으로 무한대에서 균일하게 감쇠됨을 보장한다.
• 해의 차이 $\|u^\epsilon(t,\omega,u_0^\epsilon) - u(t,u_0)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}$ 는 $4e^{ct}\|u_0^\epsilon - u_0\|^2 + \epsilon c_9 e^{c_8 t}(r(\omega) + \|u_0^\epsilon\|^2 + \|u_0\|^2)$ 로 유계이며, $\epsilon \to 0$일 때 0으로 수렴한다.
• $P$-거의확실한 모든 $\omega \in \Omega$ 에 대해 $\lim_{\epsilon \to 0} \text{dist}_{L^2(\mathbb{R}^n)}(\mathcal{A}_\epsilon(\omega), \mathcal{A}) = 0$ 이 성립하여, 아틀라서의 $L^2$-노름에서의 수렴이 입증된다.
• 결과는 $\mathbb{R}^n$ 위에서의 가우시안 백색소음이 가해진 확률적 반응-확산 방정식에 적용되어, 랜덤 아틀라서가 $\epsilon \to 0$일 때 결정론적 아틀라서로 수렴함을 확인한다.
• 증명은 온화한 흡수 집합의 존재와 $L^p$-노름에 대한 균일한 추정에 의존하며, 이 두 가지가 함께 상부 반연속성에 필요한 전처리성을 보장한다.