[논문 리뷰] Uppers to zero in polynomial rings and Prüfer-like domains

Gyu Whan Chang, Marco Fontana|ArXiv.org|2008. 01. 10.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 34인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 몰수체 K를 가진 정수환 D 위에서의 반스타 연산 φ를 사용하여 φ-준프루퍼 도메인을 도입하고 특성화하며, 고전적 개념인 준프루퍼 도메인과 UM$t$-도메인을 일반화한다. 도메인이 φ_f-준프루퍼일 조건은 그것이 φ_f-기본 확장임을 증명하고, UM$t$-도메인의 정수적 폐쇄가 P$v$MD임은 D의 w-폐쇄가 P$v$MD이고 D와 그 폐쇄에서의 w-작용이 자연 포함을 통해 호환될 때에만 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain and $X$ an indeterminate over $D$. It is well known that (a) $D$ is quasi-Prüfer (i.e, its integral closure is a Prüfer domain) if and only if each upper to zero $Q$ in $D[X] $ contains a polynomial $g \in D[X]$ with content $\co_D(g) = D$; (b) an upper to zero $Q$ in $D[X]$ is a maximal $t$-ideal if and only if $Q$ contains a nonzero polynomial $g \in D[X]$ with $\co_D(g)^v = D$. Using these facts, the notions of UM$t$-domain (i.e., an integral domain such that each upper to zero is a maximal $t$-ideal) and quasi-Prüfer domain can be naturally extended to the semistar operation setting and studied in a unified frame. In this paper, given a semistar operation $\star$ in the sense of Okabe-Matsuda, we introduce the $\star$-quasi-Prüfer domains. We give several characterizations of these domains and we investigate their relations with the UM$t$-domains and the Prüfer $v$-multiplication domains.

연구 동기 및 목표

• 고전적 준프루퍼 도메인과 UM$t$-도메인의 개념을 반스타 연산 설정으로 확장하기.
• φ-준프루퍼 도메인의 구조적 및 이상론적 성질을 기본 확장과 INC 성질과 관련하여 조사하기.
• UM$t$-도메인의 정수적 폐쇄와 이러한 도메인의 국소-글로벌 행동에 관한 열린 문제를 해결하기.
• 반스타 연산을 이용한 프루퍼 유사 도메인 이론의 통합 프레임워크 제공하기.
• UM$t$-도메인이 P$v$MD의 정수적 폐쇄를 갖는다 함은 D의 w-폐쇄가 P$v$MD이고 D와 그 폐쇄에서의 w-작용이 자연 포함을 통해 호환될 때에만 성립함을 증명하기.

제안 방법

• 정수환 D와 몰수체 K를 갖는 반스타 연산 φ를 사용하여 φ-준프루퍼 도메인의 개념을 도입하기.
• φ_f-기본 확장과 관련된 Na(D, φ_f) 구성법을 사용하여 φ_f-준프루퍼 도메인을 특성화하기.
• φ_f-준프루퍼 도메인, φ_f-INC-도메인, 그리고 Na(D, φ_f)에서의 확장된 소수 이상의 성질 사이의 동치관계 수립하기.
• w-작용과 v-작용을 적용하여 차원과 정수성 성질을 분석하고, 특히 UM$t$-도메인의 맥락에서 다루기.
• D와 그 정수적 폐쇄 $\widetilde{D}$ 사이의 자연 포함 $"]\tilde{\iota}: D \hookrightarrow \widetilde{D}$를 사용하여 D와 $\widetilde{D}$에서의 w-작용을 연결하고, $(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$를 증명하기.
• 기존의 P$v$MD와 t-역행성 결과를 활용하여, D가 P$\star$MD임은 모든 두 생성 이상이 $\star_f$-역행성임과 동치임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인 D가 언제 $\star_f$-준프루퍼 도메인이 되며, 이는 $\star_f$-기본 확장과 INC 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 UM$t$-도메인의 정수적 폐쇄가 P$v$MD가 되기 위한 조건은 무엇이며, 이는 w-작용의 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 UM$t$-도메인의 w-차원과 t-차원은 그 Na(D,v) 링의 차원과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 반스타 연산 프레임워크는 준프루퍼 도메인, UM$t$-도메인, P$v$MD 이론을 어떻게 통합하는가?
• RQ5 UM$t$-도메인의 국소-글로벌 행동은 D와 그 정수적 폐쇄에서의 w-작용의 호환성에 의해 완전히 특성화되는가?

주요 결과

• 도메인 D는 $\star_f$-준프루퍼일 조건은 D ⊆ K가 $\star_f$-기본 확장임과 동치이다.
• 도메인 D는 $\star_f$-준프루퍼일 조건은 D의 모든 확장 R가 $(\star_f)_{\iota}$-준프루퍼 도메인이 되는 것과 동치이다.
• Na(D, \star_f)는 준프루퍼 도메인일 조건은 D가 $\star_f$-준프루퍼일 때이다.
• Na(D, \star_f)의 정수적 폐쇄가 프루퍼 도메인이 되는 것은 D가 $\star_f$-준프루퍼일 때이다.
• 반스타 연산 $\star$에 대해, D는 $\star_f$-준프루퍼일 조건은 D가 t-준프루퍼이고 모든 $\star_f$-최대 이상이 t-이상임과 동치이다.
• UM$t$-도메인 D가 P$v$MD의 정수적 폐쇄를 갖는 것은 $\widetilde{D}$가 P$v$MD이고 $(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$일 때에만 성립하며, 이는 UM$t$-도메인의 국소-글로벌 행동에 관한 열린 문제를 해결한다.