[논문 리뷰] Upside Down Numerical Equation, Bimagic Squares, and the day September 11

Inder J. Taneja|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 20.

Advanced Mathematical Theories and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 숫자 0, 1, 2, 6, 9의 디지털 형태만을 사용하여 180도 회전해도 여전히 마법의 제약을 유지하는 뒤집힌 이중마법제곱을 소개한다. 11.09.2001과 20.10.2010의 날짜에서 유도된 수학적 식을 바탕으로 9×9, 16×16, 25×25의 이중마법제곱을 구성하였으며, S1 및 S2 합이 회전해도 유지되어, 이러한 고차수의 뒤집힌 이중마법제곱이 처음으로 구성된 것으로 기록된다.

ABSTRACT

In this short note we have given an equation based on the date 11.09.2001 and presented some magic squares. The magic squares presented are of order 3x3, 4x4, 5x5, 9x9, 16x16 and 25x25. While the magic square of higher order 9x9, 16x16 and 25x25 are bimagic. These magic squares are based on the digits, 1-6-9, 0-1-2, 0-1-2-9 and 0-1-2-6-9. The interesting fact in all these magic squares is that if we gave them a rotation of 180 degrees, they remain again the magic squares. In order to have this rotation, we have used the numbers in digital forms. Moreover, the day of submission of this work (20.10.2010) has only the digits 0, 1 and 2. Using only these three digits, we have presented magic squares of order 3x3 and 9x9.

연구 동기 및 목표

• 11.09.2001의 날짜와 그 수학적 대칭성을 디지털 형태의 숫자를 통해 탐구하는 것.
• 180도 회전해도 유효한 마법제곱을 구성하는 것에 초점을 맞추어 {1,6,9} 및 {0,1,2}의 숫자 집합을 사용하는 것.
• 이러한 성질을 고차수의 이중마법제곱으로 확장하여, 행과 열, 대각선의 합뿐만 아니라 제곱합도 180도 회전에 대해 불변인 성질을 유지하는 것.
• 특히 9×9, 16×16, 25×25의 고차수 뒤집힌 이중마법제곱에 대해 알려진 바 없는 첫 번째 예시를 제시하는 것.
• S1 및 S2 값이 다양한 숫자 조합과 제곱수의 차수에 걸쳐 일관되게 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 180도 회전 대칭성을 확보하기 위해 디지털 형태의 숫자 0, 1, 2, 6, 9만을 사용하여 마법제곱을 구성하는 것.
• 각 행, 열, 대각선의 합이 동일한 값 S1이 되는 3×3, 4×4, 9×9, 16×16, 25×25 행렬을 만드는 것.
• 각 행, 열, 대각선의 원소 제곱합이 S2가 되도록 하여 이중마법성 성질을 확인하는 것.
• 3자리, 4자리, 5자리 숫자의 조합 생성을 통해 큰 행렬(예: 3×3 블록의 3자리 숫자로 9×9 행렬을 채우기)을 구성하는 것.
• 역행된 숫자(예: 6→9, 9→6, 1→1, 0→0, 2→2)를 확인하여 S1 및 S2가 180도 회전 후에도 그대로 유지되는지 검증하는 것.
• 디지털 형태의 대칭성을 활용하여 전체 제곱이 회전 후에도 유효한 마법제곱 또는 이중마법제곱을 유지하도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 디지털 형태의 숫자만을 사용하여 180도 회전해도 여전히 이중마법성인 마법제곱을 구성할 수 있는가?
• RQ2 {1,6,9}, {0,1,2}, {0,1,2,6,9}의 숫자 집합에서 유도된 9×9, 16×16, 25×25의 뒤집힌 이중마법제곱의 S1 및 S2 값은 각각 얼마인가?
• RQ3 증가하는 숫자 집합에서 구성된 이중마법제곱의 서로 다른 차수에 대해 S1 값 간 일관된 수학적 관계가 존재하는가?
• RQ4 다른 숫자 집합과 블록 구조를 사용하여 9×9 및 16×16 이중마법제곱에서 동일한 S1 값(53328)을 달성할 수 있는가?
• RQ5 25×25의 뒤집힌 이중마법제곱은 팬디아고널성 등의 추가 성질을 보이는가?

주요 결과

• 숫자 {1,6,9}를 사용한 9×9 뒤집힌 이중마법제곱은 S1 = 53328, S2 = 414976074이며, 각 3×3 블록의 합은 53328, 제곱합은 414976074이다.
• 숫자 {0,1,2}를 사용한 9×9 뒤집힌 이중마법제곱은 S1 = 9999, S2 = 17169395이며, 각 3×3 블록의 합은 9999, 제곱합은 17169395이다.
• 숫자 {0,1,2,9}를 사용한 16×16 뒤집힌 이중마법제곱은 S1 = 53328, S2 = 379762424이며, 각 4×4 블록의 합은 53328, 제곱합은 379762424이다.
• 숫자 {0,1,2,6,9}를 사용한 25×25 뒤집힌 이중마법제곱은 S1 = 99990, S2 = 688808890이며, 각 5×5 블록의 합은 99990, 제곱합은 688808890이다.
• S1 값 53328은 서로 다른 숫자 집합과 블록 구조를 사용함에도 불구하고 9×9 및 16×16 이중마법제곱에서 공통으로 나타난다.
• 25×25 이중마법제곱은 팬디아고널성도 보이며, 이는 회전 대칭성 외에도 추가적인 대칭성 구조를 지닌다.