[논문 리뷰] Upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable model of set theory

Joel David Hamkins|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 03.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 ZFC의 가산 순서형 모델의 일반화된 다중우주에서 상향 닫힘과 융합에 대해 조사한다. 일부 포스팅 확장(예: 코hen 실수 추가)은 융합될 수 없지만, 코헨 실수 확장의 사슬은 항상 단일 코헨 실수 확장으로 상향 유계임을 증명하며, 이는 이러한 포스팅 유형에 대해 상향 가산 닫힘을 확립한다. 핵심 결과는 모든 가산 코헨 실수 확장 타워가 단일 $W$-일반 코헨 실수 확장 형태의 상한을 갖는다는 것이다.

ABSTRACT

I prove several theorems concerning upward closure and amalgamation in the generic multiverse of a countable transitive model of set theory. Every such model $W$ has forcing extensions $W[c]$ and $W[d]$ by adding a Cohen real, which cannot be amalgamated in any further extension, but some nontrivial forcing notions have all their extensions amalgamable. An increasing chain $W[G_0]\subseteq W[G_1]\subseteq\cdots$ has an upper bound $W[H]$ if and only if the forcing had uniformly bounded essential size in $W$. Every chain $W\subseteq W[c_0]\subseteq W[c_1]\subseteq\cdots$ of extensions adding Cohen reals is bounded above by $W[d]$ for some $W$-generic Cohen real $d$.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 다중우주 내 포스팅 확장이 공통 확장으로 융합될 수 있는지 조사한다.
• 증가하는 포스팅 확장 사슬이 상한을 갖는 조건을 규명한다.
• 닫힘성과 방향성 성질에 관해 일반화된 다중우주의 구조를 명확히 한다.
• 코헨 실수 확장의 상향 닫힘과 융합 성질에 대한 행동을 분석한다.

제안 방법

• 가산 타워인 $W[c_n]$ 확장의 각 실수에서 유한 번의 비트를 수정하여 새로운 $W$-일반 코헨 실수 $d$를 구성한다.
• 모든 $\omega$개의 코헨 실수를 추가하는 포스팅 노션 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$를 사용하며, 이는 단일 코헨 실수를 추가하는 것과 동형이다.
• 포스팅 순서 집합의 모든 밀도 있는 $G_\delta$ 부분집합을 나열하여 구성된 실수 $d$의 일반성 보장.
• 대각선화 스타일의 구성 방식을 적용하여, 실수의 각 단계 $d_n$이 밀도 있는 집합 $D_n$에 속하는 조건와 호환되도록 보장한다.
• 포스팅 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$를 $\mathop{\rm Add}(\omega,n) \times \mathop{\rm Add}(\omega,[n,\omega))$로 분해하여 각 단계에서의 호환성 관리.
• 결과적으로 $d = \oplus_n d_n$는 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$에 대해 $W$-일반적이며, 따라서 $W[d]$는 단일 코헨 실수에 의한 포스팅 확장이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코헨 실수를 추가하는 두 포스팅 확장 $W[c]$와 $W[d]$는 공통 확장 $W[e]$로 융합될 수 있는가?
• RQ2 증가하는 가산 사슬인 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$가 일반화된 다중우주 내에서 상한을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $W$-일반 코헨 실수 확장의 집합은 상향 가산 닫혀 있는가?
• RQ4 모든 포스팅 노션은 확장의 융합을 허용하는가, 아니면 예외가 존재하는가?
• RQ5 일반화된 다중우주의 포함 관계는 포스팅 확장 관계와 일치하는가?

주요 결과

• 모든 가산 타워인 $W$-일반 코헨 실수 확장 $W[c_0] \subseteq W[c_1] \subseteq \cdots$는 어떤 $W$-일반 코헨 실수 $d$에 대해 상한 $W[d]$를 갖는다. 이는 상향 가산 닫힘을 증명한다.
• 상한 $W[d]$는 각 $c_n$을 유한하게 수정하여 생성된 실수 $d = \oplus_n d_n$를 통해 구성되며, 이 실수 $d$는 $\mathop{\rm Add}(\omega,\omega)$에 대해 $W$-일반적이다. 이는 단일 코헨 실수를 추가하는 것과 동형이다.
• 구성 과정은 모든 $n$에 대해 $W[c_n] \subseteq W[d]$를 보장하며, $d$는 $W$-일반적이므로 $W[d]$는 단일 코헨 실수에 의한 포스팅 확장이다.
• 모든 포스팅 확장이 융합 가능한 것은 아니며, 예를 들어 두 개의 코헨 실수 확장은 공통의 추가 확장이 존재하지 않을 수 있다.
• 포스팅 확장 사슬이 상한을 갖는다 하는 것은, 관여된 포스팅 노션들이 $W$에서 균일하게 유한한 본질적 크기를 갖는 조건에 의해 일반화된 결과이다. 이는 코헨 실수의 경우에 대한 결과를 일반화한다.
• 구성된 실수 $d$는 단지 $W$-일반적이기만 한 것이 아니라, 모든 $n$에 대해 $W[c_n]$-일반적이며, 강력한 일반성 보존 성질을 보여준다.