[논문 리뷰] Urod algebras and Translation of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Thomas Creutzig외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 06.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단순 루트 시스템을 가진 리 대수에 대해 Urod 대수를 도입하고, 양자 Drinfeld-Sokolov 감소가 통합 가능한 아핀 버텍스 대수와의 텐서 곱과 가환함을 증명함으로써 W-대수에 대한 번역 함자(constructor)를 수립한다. 핵심 결과는 버텍스 대수의 동형사상 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $이며, 이는 예외적인 W-대수에 대한 융합 분야의 구축과 $\mathbb{CP}^2$ 위의 랭크-$n$ 층에 대한 Nakajima-Yoshioka 폭발 방정식의 표현 이론적 해석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this work, we introduce Urod algebras associated to simply-laced Lie algebras as well as the concept of translation of W-algebras. Both results are achieved by showing that the quantum Hamiltonian reduction commutes with tensoring with integrable representations, that is, for $V$ and $L$ an affine vertex algebra and an integrable affine vertex algebra associated with $\mathfrak{g}$, we have the vertex algebra isomorphism $H_{DS,f}^0(V\otimes L)\cong H_{DS,f}^0(V)\otimes L$, where in the left-hand-side the Drinfeld-Sokolov reduction is taken with respect to the diagonal action of $\widehat{\mathfrak{g}}$ on $V\otimes L$. The proof is based on some new constructionof automorphisms of vertex algebras, which may be of independent interest. As corollaries we get fusion categories of modules of many exceptional W-algebras and we can construct various corner vertex algebras. A major motivation for this work is that Urod algebras of type $A$ provide a representation theoretic interpretation of the celebrated Nakajima-Yoshioka blowup equations for the moduli space of framed torsion free sheaves on $\mathbb{CP}^2$ of an arbitrary rank.

연구 동기 및 목표

• 임의의 랭크에 대해 단순 루트 시스템을 가진 리 대수에 대한 Urod 대수의 체계적 프레임워크 수립을 통해 이전의 랭크 두인 경우의 결과를 일반화한다.
• 아핀 Kac-Moody 대수의 통합 표현을 이용하여 W-대수에 대한 번역 함자를 개발한다.
• 양자 Drinfeld-Sokolov 감소가 통합 모듈과의 텐서 곱과 가환함을 증명함으로써 새로운 버텍스 대수 및 모듈의 구축을 가능하게 한다.
• 프레임된 비특이 층에 대한 $\mathbb{CP}^2$ 위의 랭크-$n$ 층에 대한 Nakajima-Yoshioka 폭발 방정식을 표현 이론적으로 해석한다.
• 감소 동형사상에 기반한 코너 버텍스 대수를 구축하고 W-대수 모듈의 텐서 범주를 수립한다.

제안 방법

• 새로운 버텍스 대수의 자기동형사상 구축을 통해, 양자화된 Drinfeld-Sokolov 감소가 통합 아핀 버텍스 대수 $L_{\ell}(\mathfrak{g})$와의 텐서 곱과 가환함을 증명한다.
• 등식 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $를 이용하여 W-대수 모듈 범주 위에 번역 함자 $ T_L $를 정의한다.
• Frobenius 수반성과 표현 이론적 도구를 활용하여 유도된 함자가 완전 충실하고 텐서 구조를 유지함을 검증한다.
• BRST 코hom로지의 등식 $ H_{DS,f}^{\bullet}(M\otimes N) \cong H_{DS,f}^{\bullet}(M)\otimes N $을 $V$-모듈 $M$ 과 $\mathbb{L}_\ell(\mathfrak{g})$-모듈 $N$ 에 대해 활용한다.
• 감소 동형사상에서 유도된 특정 자기동형사상에 대한 고정점 부분대수로서 코너 버텍스 대수를 구성한다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ 경우에 결과를 적용하여 AGT 대응을 통해 Nakajima-Yoshioka 폭발 방정식을 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 루트 시스템을 가진 리 대수에 대해 Urod 대수를 랭크 두를 초월해 임의의 랭크로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 통합 표현에 의해 유도된 W-대수 모듈 범주 위의 번역 함자 $ T_L $의 구조는 어떠한가?
• RQ3 양자 Drinfeld-Sokolov 감소는 통합 아핀 버텍스 대수와의 텐서 곱과 가환하는가?
• RQ4 감소 동형사상 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $는 어떻게 예외적인 W-대수에 대한 융합 분야를 이끌어내는가?
• RQ5 랭크-$n$ 층에 대한 $\mathbb{CP}^2$ 위의 Nakajima-Yoshioka 폭발 방정식은 W-대수의 표현 이론을 통해 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 양자 Drinfeld-Sokolov 감소는 통합 아핀 버텍스 대수와의 텐서 곱과 가환하며, $V^k(\mathfrak{g})$의 몫 $V$에 대해 등식 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $를 유도한다.
• 이 등식은 $ \mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} \to \mathscr{W}^{k+\ell}(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} $, $ M \mapsto M\otimes L $ 형태의 번역 함자 $ T_L $를 수립하며, 이는 정확하고 모듈 구조를 유지한다.
• 이 구축은 Deligne 곱과 유도된 텐서 함자의 완전 충실성에 기반해 많은 예외적인 W-대수의 모듈에 대한 융합 분야를 이끌어낸다.
• 코너 버텍스 대수는 감소 동형사상에서 유도된 자기동형사상에 대한 고정점 부분대수로서 구성된다.
• 형식 $A_n$ 의 Urod 대수는 프레임된 비특이 층에 대한 $\mathbb{CP}^2$ 위의 랭크-$n$ 층에 대한 Nakajima-Yoshioka 폭발 방정식을 표현 이론적으로 해석한다.
• 일반 수준에서 버텍스 텐서 범주 구조가 성립한다고 가정할 경우, 완비화 및 확장 이론을 통해 결과는 일반 수준으로 확장되며, 더 넓은 적용 가능성을 시사한다.