[논문 리뷰] Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles

Alexander Lange, Stanisław Radziszowski외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 간선 폴크만 수 $F_e(3,3;4)$에 대한 상한을 향상시켰다. 이는 임의의 2간선 색칠에서 단색 삼각형을 유도하는 $K_4$-자유 그래프 중 최소 순서를 의미한다. 수정된 순환 그래프 $G_{786}$를 구성하고, MAX-CUT 정수계획법의 반탄형 프로그래밍 근사법(Goemans-Williamson 알고리즘)을 적용함으로써, 저자들은 $F_e(3,3;4) \leq 786$를 증명하였으며, 이는 이전의 최선의 상한 941보다 감소된 것이다.

ABSTRACT

In 1967, Erdős and Hajnal asked the question: Does there exist a $K_4$-free graph that is not the union of two triangle-free graphs? Finding such a graph involves solving a special case of the classical Ramsey arrowing operation. Folkman proved the existence of these graphs in 1970, and they are now called Folkman graphs. Erdős offered \$100 for deciding if one exists with less than $10^{10}$ vertices. This problem remained open until 1988 when Spencer, in a seminal paper using probabilistic techniques, proved the existence of a Folkman graph of order $3 imes 10^9$ (after an erratum), without explicitly constructing it. In 2008, Dudek and Rödl developed a strategy to construct new Folkman graphs by approximating the maximum cut of a related graph, and used it to improve the upper bound to 941. We improve this bound first to 860 using their approximation technique and then further to 786 with the MAX-CUT semidefinite programming relaxation as used in the Goemans-Williamson algorithm.

연구 동기 및 목표

• 임의의 2간선 색칠에서 단색 삼각형을 유도하는 $K_4$-자유 그래프 중 최소 순서로 정의된 간선 폴크만 수 $F_e(3,3;4)$에 대한 상한을 향상시키는 것.
• 1975년 에르되시가 제기한 장기 미해결 문제를 다루며, $F_e(3,3;4) < 10^{10}$를 증명하는 데 $100를 제공했고, 이후 그라함은 $F_e(3,3;4) < 100$를 증명하는 데 $100를 제공하였다.
• 두데크와 루돌(2008)이 도입한 MAX-CUT 근사 기법을 확장하고 개선하여, $ (3,3) $을 화살표로 향하는 그래프를 구성하기 위해 정수계획법을 활용한 더 날카운 상한을 도출하는 것.
• 순서 786인 $K_4$-자유 그래프가 램지 화살표 조건 $G \rightarrow (3,3)$를 만족함을 구축적으로 증명함으로써, 새로운 상한을 확립하는 것.

제안 방법

• 후보 그래프 $G$로부터 그래프 $H_G$를 구성하여, $H_G$의 최대 컷 크기가 $G \rightarrow (3,3)$인지 여부를 결정한다.
• Goemans-Williamson 정수계획법의 반탄형 프로그래밍 근사법을 사용하여 $H_G$의 MAX-CUT 크기에 대한 상한을 계산하며, 이는 스펙트럼 상한보다 더 날카롭다.
• SpeeDP 알고리즘을 통해 $L(785,53)$ 및 그 수정된 형태인 $G_{786}$를 포함한 후보 그래프 $G$에 대해 $MC(H_G)$의 고정밀 상한을 계산한다.
• 순환 그래프 $L(785,53)$을 수정하여 한 정점을 추가하고, 60개의 특정 정점과 연결함으로써 MAX-CUT 상한을 $2t_\triangle(G)$ 이하로 낮춘다. 여기서 $t_\triangle(G)$는 $G$의 삼각형 수이다.
• 만약 $MC(H_G) < 2t_\triangle(G)$이면 $G \rightarrow (3,3)$이므로, MAX-CUT 방법을 통해 램지 화살표 조건을 증명할 수 있다.
• 스펙트럼 상한과 SDP 솔버(SDPLR-MC 및 SBmethod)를 사용하여 MAX-CUT 상한을 계산하고 검증하며, SpeeDP는 $MC(H_{G_{786}})$에 대해 857742의 더 날카운 하한을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MAX-CUT 정수계획법의 반탄형 프로그래밍 근사법을 사용하여, 941 미만의 순서를 가진 $K_4$-자유 그래프를 구성함으로써, 임의의 2간선 색칠에서 단색 삼각형을 유도할 수 있는가?
• RQ2 순환 그래프의 체계적 수정과 MAX-CUT 근사 기법을 통해, 이전의 최선 상한 941을 초월하여 $F_e(3,3;4)$의 상한을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 원래 그래프 $L(785,53)$에서 유도된 수정된 그래프 $G_{786}$이 $G_{786} \rightarrow (3,3)$를 만족하는가? 이를 통해 $F_e(3,3;4) \leq 786$를 증명할 수 있는가?
• RQ4 RAMSEY 화살표 문제의 맥락에서, MAX-CUT에 대한 SDP 근사법이 스펙트럼 방법보다 더 날카운 상한을 제공할 수 있는가?
• RQ5 모든 2간선 색칠에서 단색 삼각형을 유도하는 $K_4$-자유 그래프의 최소 순서는 얼마이며, 이를 체계적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 순서 786인 $K_4$-자유 그래프 $G_{786}$를 구성하였으며, $G_{786} \rightarrow (3,3)$를 만족함을 증명함으로써 $F_e(3,3;4) \leq 786$를 확립하였다.
• MAX-CUT의 SDP 근사법은 $MC(H_{G_{786}})$에 대해 857753의 상한을 제공하였으며, 이는 $2t_\triangle(G_{786}) = 857762$보다 엄밀히 작다. 이는 화살표 조건이 확인됨을 의미한다.
• SpeeDP 계산을 통해 $857742 \leq MC(H_{G_{786}})$의 정밀한 하한이 확보되었으며, 이는 MAX-CUT 크기가 삼각형 수의 두 배 이하임을 확인한다.
• 수정된 그래프 $G_{786}$는 61,290개의 간선과 428,881개의 삼각형을 가지며, 한 정점을 추가하고 60개의 정점과 연결한 후에도 여전히 $K_4$-자유이다.
• $L(785,53)$와 $G_{786}$에 대한 SDP 상한은 스펙트럼 상한과 일치하지만, 이 경우 일반적으로 SDP 근사법이 스펙트럼 상한보다 더 날카롭다는 것이 입증되었다.
• 이 작업은 $F_e(3,3;4)$의 상한을 이전의 최선 상한 941(Dudek-Rödl, 2008)에서 786으로 감소시켰으며, 최소 폴크만 그래프를 찾는 데 있어 중요한 진전을 이룩하였다.