[논문 리뷰] Use of Quantum Sampling to Calculate Mean Values of Observables and Partition Function of a Quantum System

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 서브루틴을 사용하여 양자 시스템의 관측량 평균값과 분할함수를 효율적으로 계산하는 양자 알고리즘을 제시한다: (1) 관측량의 대각행렬 원소를 계산하기 위한 다항시간 양자 위상 추정 및 토모그라피 방법, 그리고 (2) 슈에지디 연산자를 기반으로 하는 양자 샘플링 절차로, 고전적 샘플링 대비 제곱근 속도 향상을 제공한다. 주요 기여는 해밀토니안 고유값에 대한 사전 지식이 필요 없이 열기대값을 효율적으로 추정할 수 있도록 허용하는 것으로, 양자 속도 향상에도 불구하고 샘플링 단계가 계산의 봉쇄 요소이다.

ABSTRACT

We describe an algorithm for using a quantum computer to calculate mean values of observables and the partition function of a quantum system. Our algorithm includes two sub-algorithms. The first sub-algorithm is for calculating, with polynomial efficiency, certain diagonal matrix elements of an observable. This sub-algorithm is performed on a quantum computer, using quantum phase estimation and tomography. The second sub-algorithm is for sampling a probability distribution. This sub-algorithm is not polynomially efficient. It can be performed either on a classical or a quantum computer, but a quantum computer can perform it quadratically faster.

연구 동기 및 목표

• 양자 시스템의 관측량 평균값과 분할함수를 계산하기 위한 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 양자 위상 추정 및 양자 토모그라피를 사용하여 관측량의 대각행렬 원소를 다항시간에 효율적으로 계산하는 것.
• 양자 컴퓨터를 이용한 열기 상태와 관련된 확률 분포를 샘플링하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.
• 슈에지디 기반의 양자 샘플링 기법을 통해 고전적 방법 대비 샘플링에서 제곱근 속도 향상을 달성하는 것.
• 일부 이전 접근 방식과 달리 해밀토니안 고유값에 대한 사전 지식이 필요 없도록 하는 것.

제안 방법

• 관측량 O의 대각행렬 원소 ⟨x|O|x⟩를 다항시간에 효율적으로 계산하기 위해 양자 위상 추정 및 양자 토모그라피를 사용한다.
• 모든 Δt ≥ 0에 대해 p-컴파일 가능한 유니터리 진동 U = e^{-iHΔt}를 적용하여 해밀토니안의 작용에 효율적으로 접근할 수 있도록 한다.
• 슈에지디 연산자를 기반으로 한 양자 샘플링 알고리즘(예: 양자 지브스 샘플링)을 적용하여 확률 분포 μ(x) ∝ ⟨x|e^{-βH}|x⟩에서 샘플링한다.
• 샘플링된 상태 x(s)에 대한 몬테카를로 평균을 사용하여 분할함수 Z와 기대값을 추정하며, 샘플링된 μ(x)를 사용해 Zg = tr{g(H)e^{-βH}}를 추정한다.
• ρ = e^{-βH}/Z 이므로 〈g(H)ρ〉 = Zg / Z의 관계를 이용해 열기대값을 계산한다.
• 샘플링 단계는 p-효율적이지 않지만, 양자 컴퓨터에서 구현할 경우 고전적 샘플링 대비 제곱근 속도 향상을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측량의 대각행렬 원소 ⟨x|O|x⟩는 위상 추정 및 토모그라피를 사용해 양자 컴퓨터에서 다항시간에 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 양자 샘플링 기법을 사용해 해밀토니안 고유값에 대한 사전 지식 없이 분할함수와 열기대값을 추정할 수 있는가?
• RQ3 열기대값 추정에서 양자 샘플링의 수렴 속도는 고전적 샘플링과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 슈에지디 연산자는 봄베르트 유사 분포에서의 샘플링에 대해 제곱근 속도 향상을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 알고리즘은 이전의 분할함수 및 관측량 계산을 위한 양자 알고리즘과 비교해 효율성과 가정 면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 양자 위상 추정 및 토모그라피를 사용하면 대각행렬 원소 ⟨x|O|x⟩를 다항시간에 효율적으로 계산할 수 있어 큐비트 수에 대해 확장 가능하다.
• 양자 샘플링 서브루틴은 p-효율적이지 않지만, 고전적 샘플링 대비 제곱근 속도 향상을 달성하며, 스펙트럼 갭 δ에 대해 O(1/√δ) 단계 내로 수렴한다.
• 이 알고리즘은 해밀토니안 H의 고유값에 대한 사전 지식이 필요 없이 분할함수 Z와 열기대값 tr{g(H)ρ}를 추정할 수 있도록 한다.
• 이 방법은 물리적 복소 상태 ρ나 그의 순수화 상태가 아닌 |√Px⟩ 상태를 생성하므로, 앤날링 스케줄에 의해 유도되는 오차를 피한다.
• 템스 등이 제시한 알고리즘과 비교해 이 접근은 동일한 추정 과제에서 제곱근 속도 향상이 이루어지며(O(1/√δ) 대비 O(1/δ)), 더 빠르게 수렴한다.
• 이 알고리즘은 고전적 샘플링보다 더 효율적이며, 파울린과 워잔의 방법과 달리 반복적 앤날링이 필요 없지만 여전히 고유값에 대한 사전 지식이 필요하지 않다.