[논문 리뷰] Using model distances to investigate the simplifying assumption, model selection and truncation levels for vine copulas

Matthias Killiches, Daniel Kraus외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Killiches 등(2017b)이 이전에 제안한 수정된 쿨백-라이블러(KL) 거리 측정법을 사용하여 고차원 빈 커퍼라에서 모델 선택 문제를 해결한다. 매개변수 기반 부트스트래핑 기반의 가설 검정과 거리 비교를 통해 간소화 가정의 평가, 후보 모델 간의 선택, 최적의 절단 수준 결정이 효율적으로 가능하며, 금융 데이터 세트(19차원 및 52차원)에서 성공적으로 적용된 바 있다.

ABSTRACT

Vine copulas are a useful statistical tool to describe the dependence structure between several random variables, especially when the number of variables is very large. When modeling data with vine copulas, one often is confronted with a set of candidate models out of which the best one is supposed to be selected. For example, this may arise in the context of non-simplified vine copulas, truncations of vines and other simplifications regarding pair-copula families or the vine structure. With the help of distance measures we develop a parametric bootstrap based testing procedure to decide between copulas from nested model classes. In addition we use distance measures to select among different candidate models. All commonly used distance measures, e.g. the Kullback-Leibler distance, suffer from the curse of dimensionality due to high-dimensional integrals. As a remedy for this problem, Killiches, Kraus and Czado (2017) propose several modifications of the Kullback-Leibler distance. We apply these distance measures to the above mentioned model selection problems and substantiate their usefulness.

연구 동기 및 목표

• 고차원 적분이 수반되어 계산적으로 비현실적인 표준 쿨백-라이블러(KL) 거리 측정법이 고차원 빈 커퍼라 모델에서 계산이 불가능한 문제를 해결하기 위해.
• 주어진 데이터 세트에서 조건부 커퍼라가 부모 변수에만 의존한다는 간소화 가정이 타당한지 평가하기 위해.
• 여러 후보 빈 커퍼라 모델 간에서 최적의 모델을 선택하기 위한 거리 기반 절차를 개발하기 위해.
• 모델의 단순성과 적합도 품질 사이의 균형을 고려해 빈 커퍼라의 최적 절단 수준을 결정하기 위해.
• 실제 고차원 데이터(예: 금융 포트폴리오)에서 수정된 KL 거리 측정법의 실용적 유용성을 입증하기 위해.

제안 방법

• Killiches 등(2017b)이 제안한 수정된 쿨백-라이블러(KL) 거리 측정법을 채택하여 고차원에서의 계산 비용을 크게 감소시켜 고차원에서의 적용 가능성을 확보한다.
• 매개변수 기반 부트스트래핑 기반의 가설 검정을 구현하여, 예를 들어 간소화된 빈과 비간소화된 빈과 같은 중첩된 모델 클래스를 수정된 KL 거리를 통계량으로 사용해 비교한다.
• 다양한 후보 모델(예: 다른 쌍-커퍼라 가족 또는 빈 구조)의 적합도를 수정된 KL 거리를 활용해 비교하여 가장 우수한 성능을 보이는 모델을 선별한다.
• 절단 수준 선택을 위한 두 가지 알고리즘을 제안한다: 알고리즘 1은 절단된 빈을 전체 모델과 비교하며, 알고리즘 2는 거리 임계값과 부트스트래핑 기반 신뢰구간을 사용해 연속된 절단 빈 간을 비교한다.
• 부트스트래핑을 통한 95% 신뢰구간을 활용해 거리 비교의 통계적 유의성을 평가하여 모델 선택 결정의 강인성을 확보한다.
• 거리 플롯(예: 전체 모델까지의 sdKL-거리 또는 연속된 절단 간의 거리)을 시각화하여 절단 수준 선택을 안내한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 데이터 세트에서 간소화 가정이 타당한가, 아니면 진짜 의존성 구조를 포괄하기 위해 비간소화된 빈이 필요한가?
• RQ2 다른 쌍-커퍼라 가족, 빈 구조 또는 간소화 수준을 가진 여러 후보 빈 커퍼라 모델 중에서 가장 우수한 모델을 신뢰성 있게 선택하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 고차원 환경에서 모델의 단순성과 적합도 정확도 사이의 균형을 고려할 때, 빈 커퍼라의 최적 절단 수준은 무엇인가?
• RQ4 수정된 KL 거리 측정법은 고차원 의존성 모델링에서 전통적 KL 거리와 비교해 계산 효율성과 통계적 성능 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 거리가 전체 모델까지의 거리가 작더라도, 제안된 거리 기반 방법은 주어진 절단 수준을 초월한 유의미한 의존성을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 19차원의 EuroStoxx50 데이터 세트에서 제안된 방법은 알고리즘 2를 통해 절단 수준 6을 최적으로 식별하였으며, 쌍-커퍼라 수를 171개에서 93개로 줄였지만 양호한 적합도를 유지하였다.
• 52차원의 EuroStoxx50 데이터 세트에서는 알고리즘 2가 균형 잡힌 선택으로서 절단 수준 33을 제안하였으며, 쌍-커퍼라 수를 1326개에서 1155개로 줄였고, 전체 모델까지의 거리는 부트스트래핑 기반 신뢰구간 내에 유지되었다.
• 이 방법은 19차원 데이터에서 6번째 트리 이후에도 유의미한 의존성이 존재함을 탐지하여, 수준 6에서의 절단이 타당하지만 지나치게 단순화되지 않았음을 시사한다.
• 52차원 데이터에서 알고리즘 2의 결과는 연속된 절단 빈 간의 거리가 k=24에서 95% 신뢰구간 이하로 떨어지며, 약 24 수준에서 타당한 절단 수준임을 시사한다.
• 제안된 방법은 전통적 방법을 능가했다: Brechmann 등(2012)은 수정 없이 47, AIC 기반으로 24, BIC 기반으로 3을 절단 수준으로 찾았지만, 제안된 방법은 더 균형 잡히고 해석 가능한 수준인 33을 식별하였다.
• 수정된 KL 거리 측정법은 고차원(최대 d=52)에서 전통적 KL 거리가 고차원 적분으로 인해 계산적으로 비현실적이기 때문에 적용이 불가능한 상황에서도 신뢰할 수 있는 모델 비교 및 선택을 가능하게 하였다.