[논문 리뷰] Using nets in Dedekind, monotone, or Scott incomplete ordered fields and definability issues

Mojtaba Moniri, Jafar S. Eivazloo|ArXiv.org|2002. 04. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 네티를 이용한 갭에서 정의 가능성과 완비성에 대해 연구하며, 디데킨드 완비성과 연속 단사 함수가 내부 점을 내부 점으로 보존하는 조건이 동치임을 증명한다. 일반화된 거듭제곱 급수와 무한 소수를 이용하여, $∅$-정의 가능한 발산 코시 함수가 없는 파rametrically 정의 가능한 정규 갭을 갖는 순서체를 구성함으로써, 정의 가능성 논리에서의 독립성 결과를 증명한다.

ABSTRACT

Given a Dedekind incomplete ordered field, a pair of convergent nets of gaps which are respectively increasing or decreasing to the same point is used to obtain a further equivalent criterion for Dedekind completeness of ordered fields: Every continuous one-to-one function defined on a closed bounded interval maps interior of that interval to the interior of the image. Next, it is shown that over all closed bounded intervals in any monotone incomplete ordered field, there are continuous not uniformly continuous unbounded functions whose ranges are not closed, and continuous 1-1 functions which map every interior point to an interior point (of the image) but are not open. These are achieved using appropriate nets cofinal in gaps or coinitial in their complements. In our third main theorem, an ordered field is constructed which has parametrically definable regular gaps but no $\emptyset$-definable divergent Cauchy functions (while we show that, in either of the two cases where parameters are or are not allowed, any definable divergent Cauchy function gives rise to a definable regular gap). Our proof for the mentioned independence result uses existence of infinite primes in the subring of the ordered field of generalized power series with rational exponents and real coefficients consisting of series with no infinitesimal terms, as recently established by D. Pitteloud.

연구 동기 및 목표

• 간의 네티와 연속 단사 함수를 이용하여 순서체에서의 디데킨드 완비성을 특성화하기.
• 단조 불완전한 체에서 닫힌 유계 구간 위에 연속적이지만 균일 연속이 아니며 유계가 아닌 함수의 존재를 보여주기.
• 파rametrically 정의 가능한 정규 갭을 갖지만 $∅$-정의 가능한 발산 코시 함수가 없는 순서체를 구성하기.
• 순서체에서 정의 가능한 정규 갭과 정의 가능한 발산 코시 함수 사이의 독립성을 증명하기.

제안 방법

• 간에 cofinal이거나 그 여집합에 coinitial인 엄격하게 증가하거나 감소하는 네티를 사용하여, 불완전한 체에서 병리적인 연속 함수를 구성하기.
• 코시 함수를 포함하는 공식을 정의하여 정규 컷을 생성하고 그 정의 가능성 분석하기.
• 일반화된 거듭제곱 급수 환에 자동형사를 적용하여 특정 함수와 갭의 비정의 가능성 보여주기.
• 일반화된 거듭제곱 급수의 부분환에서의 무한 소수에 관한 피티로우의 결과를 활용하여 특정 정의 가능성 성질을 갖는 모델 구성하기.
• 일반화된 거듭제곱 급수 체의 실수 체를 사용하여 일부 원소가 제곱이 아니라는 것을 증명함으로써 실수 체가 아님을 보여주기.
• 일반화된 거듭제곱 급수 환의 분수체가 실수 체의 밀도를 가지며, 근사화 추론이 가능하다는 것을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디데킨드 완비성은 닫힌 유계 구간에서 연속 단사 함수가 내부 점을 내부 점으로 보존하는 조건과 동치인가?
• RQ2 단조 불완전한 순서체의 닫힌 유계 구간에서 연속적이지만 균일 연속이 아니며 무한대가 되는 함수가 존재하는가?
• RQ3 정의 가능한 발산 코시 함수의 존재는 순서체에서 정의 가능한 정규 갭의 존재를 암시하는가?
• RQ4 파라미터로 정의 가능한 정규 갭은 있지만 $∅$-정의 가능한 발산 코시 함수가 없는 순서체가 존재하는가?
• RQ5 순서체에서 정의 가능한 정규 갭과 정의 가능한 발산 코시 함수 사이의 논리적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 디데킨드 완비성은 닫힌 유계 구간에서 연속 단사 함수가 내부 점을 내부 점으로 보존하는 조건과 동치이다.
• 모든 단조 불완전한 순서체에서, 내부 점을 내부 점으로 보존하지 않는 연속적이지만 균일 연속이 아니며 무한대가 되는 함수가 존재한다.
• 내부 점을 그 이미지의 경계점으로 보존하는 닫힌 유계 구간 위의 연속 단사 함수가 존재하며, 이러한 함수는 열린 함수가 아님을 보여준다.
• 파라미터로 정의 가능한 정규 갭을 갖지만 $∅$-정의 가능한 발산 코시 함수가 없는 순서체 $K$가 존재한다.
• 유리수 지수와 실수 계수를 갖는 일반화된 거듭제곱 급수의 부분환에서의 무한 소수 존재는 그러한 체의 구성 가능성을 보장하며, 정의 가능한 갭과 정의 가능한 코시 함수 사이의 독립성을 증명한다.
• 일반화된 거듭제곱 급수 환 $[[\mathbb{R}^{\mathbb{Q}^{\leq 0}}]]$의 분수체 $K$는 실수 체의 밀도를 가지지만 실수 체가 아니며, 특정 자동형사와 그 역으로 닫혀 있다.