[논문 리뷰] Using neural networks to solve the 2D Poisson equation for electric field computation in plasma fluid simulations

Lionel Cheng, Ekhi Ajuria Illarramendi외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 27.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2D 포아송 방정식의 해를 가속화하는 물리 기반의 컨volution 신경망(CNN)인 PlasmaNet을 제안한다. 이는 전통적 해법 대비 높은 정확도와 속도 향상을 달성하며, 비정상적 옐러 방정식과의 안정적인 결합을 위해 물리적 손실 함수를 사용하여, 복잡한 경계 조건과 다물리학 결합 조건을 가진 전자 플라즈마 진동 및 스트리머 방전의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Poisson equation is critical to get a self-consistent solution in plasma fluid simulations used for Hall effect thrusters and streamer discharges, since the Poisson solution appears as a source term of the unsteady nonlinear flow equations. As a first step, solving the 2D Poisson equation with zero Dirichlet boundary conditions using a deep neural network is investigated using multiple-scale architectures, defined in terms of number of branches, depth and receptive field. One key objective is to better understand how neural networks learn the Poisson solutions and provide guidelines to achieve optimal network configurations, especially when coupled to the time-varying Euler equations with plasma source terms. Here, the Receptive Field is found critical to correctly capture large topological structures of the field. The investigation of multiple architectures, losses, and hyperparameters provides an optimal network to solve accurately the steady Poisson problem. The performance of the optimal neural network solver, called PlasmaNet, is then monitored on meshes with increasing number of nodes, and compared with classical parallel linear solvers. Next, PlasmaNet is coupled with an unsteady Euler plasma fluid equations solver in the context of the electron plasma oscillation test case. In this time-evolving problem, a physical loss is necessary to produce a stable simulation. PlasmaNet is finally tested on a more complex case of discharge propagation involving chemistry and advection. The guidelines established in previous sections are applied to build the CNN to solve the same Poisson equation in cylindrical coordinates with different boundary conditions. Results reveal good CNN predictions and pave the way to new computational strategies using modern GPU-based hardware to predict unsteady problems involving a Poisson equation.

연구 동기 및 목표

• 자기 일관성 있는 플라즈마 모델링에서의 핵심 장애물인 2D 포아송 방정식의 해를 가속화하는 것.
• 깊이 신경망이 다양한 아키텍처, 손실 함수, 하이퍼파rameter 설정 하에서 포아송 방정식의 해를 어떻게 학습하는지 조사하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 유체 방정식과 결합할 수 있는 데이터 기반의 대체 해법 기반 솔버를 개발하는 것.
• 복잡한 경계 조건을 가진 타원형 편미분방정식을 해결할 때 최적의 CNN 구성—특히 수신장과 아키텍처—에 대한 설계 지침을 수립하는 것.
• 원통좌표계와 화학 반응 결합된 방전 전파를 포함한 표준 및 복잡한 플라즈마 케이스에서 방법의 유효성을 검증하는 것.

제안 방법

• 다중 척도 아키텍처를 사용하여 0 Dirichlet 경계 조건을 가진 2D 포아송 방정식을 해결하기 위해 딥 컨volution 신경망(PlasmaNet)을 훈련한다.
• 물리적 일관성을 강제하기 위해 포아송 방정식 잔차 오차를 페널티로 삼는 물리 기반 손실 함수를 사용해 네트워크를 훈련한다.
• 일반화성과 정확도를 최적화하기 위해 네트워크 깊이, 분지 수, 수신장 크기 등의 하이퍼파rameter를 검색한다.
• 모델은 먼저 정적인 문제에서 훈련된 후, 시간에 따라 변화하는 시뮬레이션을 위해 비정상적 옐러 플라즈마 유체 해법과 결합된다.
• 장기적인 시뮬레이션을 안정화하고 시간에 따라 변화하는 경우의 오차 누적을 방지하기 위해 물리적 손실 함수를 도입한다.
• 혼합 Dirichlet-Neumann 경계 조건을 가진 원통좌표계로의 확장을 통해, 카르테시안 기하학을 초월한 일반화 능력을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 수신장, 깊이, 분지 수와 같은 아키텍처 하이퍼파rameter는 2D 포아송 방정식의 신경망 해의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 물리 기반 신경망이 GPU 하드웨어에서 상당한 속도 향상을 달성하면서도 고전적 선형 해법과 비교해 유사하거나 더 높은 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 신경망이 비정상적 유체 방정식과 결합되었을 때 물리적 손실 함수가 시간에 따라 변화하는 시뮬레이션의 안정성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 훈련된 신경망이 원통좌표계에서 혼합 Dirichlet-Neumann 경계 조건과 같은 다양한 경계 조건에 대해 얼마나 잘 일반화되는가?
• RQ5 화학 반응, 대류 및 다물리학 결합을 포함한 복잡한 플라즈마 시뮬레이션에서 네트워크를 효과적으로 활용할 수 있는가?

주요 결과

• PlasmaNet은 0 Dirichlet 경계 조건을 가진 2D 포아송 방정식을 매우 높은 정확도로 해결하며, GPU 하드웨어에서 고전적 반복 해법보다 뛰어난 속도 향상을 달성한다.
• 수신장은 전기 잠재 에너지 필드 내의 대규모 위상적 구조를 포착하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 시간에 따라 변화하는 옐러 방정식과 결합했을 때 장기적인 시뮬레이션을 안정화시키기 위해 물리적 손실 함수가 필수적이다.
• 하이퍼파rameter 검색을 통해 도출된 최적의 네트워크 구성은 전자 플라즈마 진동과 이중 머리 스트리머 방전을 포함한 여러 테스트 케이스에서 정확한 예측을 가능하게 한다.
• 혼합 경계 조건을 가진 원통좌표계로의 일반화가 잘 이루어져 복잡한 플라즈마 기하학에 대한 강건성과 이식 가능성의 가능성을 시사한다.
• 결합된 다물리학 상호작용을 포함한 플라즈마 유체 시뮬레이션에서 상당한 계산 가속화를 가능하게 하여 실시간 또는 고처리량 시뮬레이션 전략의 길을 열어준다.