[논문 리뷰] Using path integrals to price interest rate derivatives

Matthias Otto|ArXiv.org|1998. 12. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 편미분방정식과 확률과정의 명시적 해법을 피하면서 이자율 파생상품 가격 결정을 위한 경로 적분 접근법을 제안한다. Martin-Siggia-Rose 형식을 사용하여 Vasicek의 무담보 채권과 옵션 가격을 성공적으로 복원함으로써, 단기금리 모델에서 분석적 및 수치적 응용에 대한 이 방법의 타당성을 입증한다.

ABSTRACT

We present a new approach for the pricing of interest rate derivatives which allows a direct computation of option premiums without deriving a (Black-Scholes type) partial differential equation and without explicitly solving the stochastic process for the underlying variable. The approach is tested by rederiving the prices of a zero bond and a zero bond option for a short rate environment which is governed by Vasicek dynamics. Furthermore, a generalization of the method to general short rate models is outlined. In the case, where analytical solutions are not accessible, numerical implementations of the path integral method in terms of lattice calculations as well as path integral Monte Carlo simulations are possible.

연구 동기 및 목표

• 경로 적분을 이용한 이자율 파생상품 가격 결정을 위한 새로운 프레임워크를 개발하여 블랙-쇼즈 유형의 편미분방정식에 의존하지 않도록 하는 것.
• 특히 Vasicek 동역학 하에서 해석적으로 풀 수 있는 케이스—즉, 무담보 채권과 무담보 채권 옵션—에 대해 이 방법을 시험하는 것.
• 확률미분방정식으로 기술된 임의의 단기금리 모델에 이 방법을 일반화하는 것.
• 해석적 해법이 불가능한 모델을 위해 격자 이산화와 경로 적분 몽테카를로 시뮬레이션을 통해 수치적 구현을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 경로 적분 형식은 직접 편미분방정식 유도를 피하는 Martin-Siggia-Rose (MSR) 확률미분계산 프레임워크에서 유도된다.
• Vasicek 모델 하의 단기금리 동역학은 가우시안 화이트노이즈를 갖는 랭제빈 방정식으로 표현된다.
• 단기금리 경로에 대한 확률밀도 함수형태가 구성되며, 해밀토니안 유사 작용을 통해 확률적 동역학이 코딩된다.
• 일반적인 경로 적분 작용은 이동항과 변동성항을 포함하며, 변동성이 금리 수준이나 시간에 따라 변할 경우 보조장이 도입된다.
• 모든 금리 경로에 대한 함수적 적분을 통해 상환 계약 가격을 산정하며, 작용의 음의 지수에 가중치를 부여한다.
• 시간의 격자 이산화와 보조장의 실수 및 허수 부분에 대한 통합을 통해 수치적 구현이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편미분방정식을 풀지 않고도 경로 적분을 이용해 이자율 파생상품을 가격 매길 수 있는가?
• RQ2 경로 적분 방법은 Vasicek 모델 하에서 알려진 해석적 결과—무담보 채권과 옵션에 대해—정확히 재현할 수 있는가?
• RQ3 비정수 변동성과 시간에 의존하는 이동항을 갖는 단기금리 모델에 대해 경로 적분 형식은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 해석적 해법이 불가능할 경우 어떤 수치 전략을 적용할 수 있는가?
• RQ5 경로 적분 접근법은 새로운 금융 모델과 수치 시뮬레이션의 기초로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 경로 적분 방법은 Vasicek의 무담보 채권 가격을 성공적으로 재현하여 기존 모델과의 일관성을 확인한다.
• 이 방법은 Vasicek 동역학 하에서 Jamshidian 공식이 정확히 재현된다.
• 시간과 금리에 의존하는 이동항과 변동성을 갖는 임의의 단기금리 모델에 대해 일반적인 경로 적분 작용이 유도되었다.
• 변동성이 비정수일 경우 보조장의 포함이 필요하며, 이는 복소장에 대한 기능적 통합을 가능하게 한다.
• 해석적 해법이 없는 모델을 위해 격자 이산화와 경로 적분 몽테카를로 시뮬레이션을 통해 수치 계산이 가능하다.
• 이 방법은 고정수익 파생상품에서 전통적인 편미분방정식 및 확률미분방정식 기반의 가격 결정 방법에 비해 통합적이고 물리적 직관을 갖춘 대안을 제공한다.