[논문 리뷰] Utility maximization in incomplete markets

Ying Hu, Peter Imkeller외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2005. 08. 24.

Economic theories and models인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비완전 금융시장에서 비볼록 거래 제약 조건을 가진 유틸리티 최적화 문제에 대해 새로운 접근법을 제시한다. 종료 시점의 자산 가치 유틸리티와 일치하는 초순정적 마틴갈레의 종료값을 갖는 초순정적 마틴갈레 과정을 구성함으로써 이를 달성한다. 최적 전략은 이 과정이 마틴갈레가 되는 전략으로 식별되며, 가치 함수는 이 마틴갈레의 초기값으로 단순히 주어진다. 지수, 거듭제곱, 로그 유틸리티 함수에 대해 일반적인 닫힌 제약 집합 하에서 후방 확률미분방정식(BSDEs)을 통해 유도된다.

ABSTRACT

We consider the problem of utility maximization for small traders on incomplete financial markets. As opposed to most of the papers dealing with this subject, the investors' trading strategies we allow underly constraints described by closed, but not necessarily convex, sets. The final wealths obtained by trading under these constraints are identified as stochastic processes which usually are supermartingales, and even martingales for particular strategies. These strategies are seen to be optimal, and the corresponding value functions determined simply by the initial values of the supermartingales. We separately treat the cases of exponential, power and logarithmic utility.

연구 동기 및 목표

• 표준 볼록 쿠션 가정을 초월하여, 닫힌 비볼록 집합으로 제약되는 거래 전략을 가진 비완전 시장에서 유틸리티 최적화 문제를 다루기.
• 기존 문헌에서 흔히 사용되는 쌍대성 방법에 의존하지 않고 최적 거래 전략과 가치 함수를 특성화하기.
• 일반적인 제약 구조 하에서 지수, 거듭제곱, 로그 유틸리티 함수에 대해 명시적인 해를 제공하기.
• 값 함수가 특정 초순정적 마틴갈레 과정의 초기값과 같으며, 이 과정이 마틴갈레가 되는 순간 최적성이 달성됨을 확립하기.
• 위너 필터링 확률 공간에서 후방 확률미분방정식(BSDEs)을 사용하여 최적 전략과 가치 함수를 직접 구성하기.

제안 방법

• 거래 전략 $ \rho $ 에 따라 정의되는 확률과정 $ R^\rho $ 를 정의하여, $ R^\rho_T $ 가 종료 시점의 자산 가치 유틸리티와 일치하도록 한다.
• 모든 허용 가능한 전략 $ \rho $ 에 대해 $ R^\rho $ 가 초순정적 마틴갈레임을 보장하고, 특정 전략 $ \rho^* $ 를 찾아 $ R^{\rho^*} $ 가 마틴갈레가 되도록 한다.
• 마틴갈레의 초기값을 가치 함수로 사용하며, 마틴갈레가 초기 기대값을 유지한다는 사실을 활용한다.
• 최적 전략 $ \rho^* $ 는 제약 집합 $ C_t $ 에 대한 투영을 통해 구성되며, 특히 $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $ 로 표현되며, 여기서 $ \theta_t $ 는 시장의 위험 프리미엄이다.
• 값 함수와 최적 전략을 생성하는 과정 $ (Y,Z) $ 를 구하기 위해 후방 확률미분방정식(BSDEs)을 활용한다.
• 적분 가능성 및 유계 조건 하에서 $ R^\rho $ 의 확률적 적분이 마틴갈레임을 보장하여, 모든 $ \rho $ 에 대해 초순정적 마틴갈레 성질이 유지됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거래 전략이 닫힌 비볼록 집합으로 제약받는 비완전 시장에서 유틸리티 최적화 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 제약 집합의 볼록성이 없는 조건 하에서 최적 전략과 가치 함수의 특성은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 초순정적 마틴갈레 쌍대성의 사용이 원시 유틸리티 최적화 문제의 해결을 어떻게 단순화하는가?
• RQ4 일반적인 닫힌 제약 조건 하에서 지수, 거듭제곱, 로그 유틸리티 함수에 대해 가치 함수와 최적 전략의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 쌍대성에 의존하지 않고 후방 확률미분방정식(BSDEs)을 사용하여 원시 문제를 직접 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 유틸리티 최적화 문제의 가치 함수는 최적 전략 $ \rho^* $ 와 대응하는 마틴갈레 $ R^{\rho^*} $ 의 초기값으로 주어지며, 이 값은 전략과 무관하다.
• 로그 유틸리티의 경우 가치 함수는 $ V(x) = \log(x) + \mathbb{E}\left[ -\int_0^T f(s)\,ds \right] $ 로 주어지며, 여기서 $ f(s) = \frac{1}{2} \text{dist}^2(\theta_s, C_s) - \frac{1}{2}|\theta_s|^2 $ 이다.
• 최적 전략 $ \rho^* $ 는 $ \rho^*_t = \Pi_{C_t}(\theta_t) $ 를 만족한다. 즉, 시간 $ t $ 에서 시장의 위험 프리미엄을 제약 집합 $ C_t $ 에 투영한 값이며, 이는 타당성과 최적성을 보장한다.
• 주어진 적분 가능성 및 유계 조건 하에서 과정 $ R^\rho $ 의 확률적 적분은 마틴갈레임을 보장하여, 모든 $ \rho $ 에 대해 초순정적 마틴갈레 성질이 유지된다.
• 제약 집합이 볼록 쿠션일 경우, 거듭제곱 유틸리티의 해는 세키네의 결과와 일치하여, 본 방법이 이전 문헌과의 일관성을 확보함을 검증한다.
• BSDEs의 사용은 쌍대성에 의존하지 않고 원시 문제를 직접 해결할 수 있게 하여, 볼록 제약 집합에서 닫힌 제약 집합으로의 일반화를 가능하게 한다.