[논문 리뷰] Utilizing Bochners Theorem for Constrained Evaluation of Missing Fourier Data

Jonathan Nemirovsky, Efrat Shimron|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 10.

Statistical and numerical algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Bochner 정리(Bochner's Theorem)를 활용하여 의료 영상에서 푸리에 도메인(k-space) 데이터의 누락을 보완하는 새로운 방법인 Bochner 부등식 완성(Bochner Inequality Completion of K-Space, BICKS)을 소개한다. 기저 신호의 음이 아닌 성질과 실수성(realness)을 활용함으로써, BICKS는 서브-니크비스트(under-Nyquist) 샘플링 속도에서도 고정성 이미지 재구성 가능하며, 극히 적은 샘플로도 이미지 품질을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

A method is presented for estimating unknown Fourier domain (k-space) data using a small number of samples in that space. The method is derived from Bochners Theorem, and is termed: Bochner Inequality Completion of K-Space (BICKS). It is suitable for filling the k-space of a real and nonnegative unknown quantity, and applicable even when the sampling rate is substantially lower than the Nyquist sampling rate. The BICKS method is demonstrated in the context of medical imaging, but it is also applicable to many other scientific areas that utilize signal processing in Fourier domain. The results indicate that filling a highly undersampled k-space using BICKS enables high quality image reconstruction.

연구 동기 및 목표

• 샘플링이 희박하거나 불완전할 경우, 의료 영상에서 누락된 k-space 데이터를 재구성하는 데 도전하는 것.
• 실수성과 음이 아닌 성질과 같은 신호 특성에서 유도된 제약 조건을 강제하여 물리적으로 타당한 재구성을 보장하는 방법을 개발하는 것.
• 기존의 보간법이나 압축 감지 기법보다 뛰어난 정밀도를 보이는 고품질 이미지 재구성을 가능하게 하기 위해, 극도로 희박하게 샘플링된 k-space 데이터로부터 재구성하는 것.
• Bochners Theorem을 기반으로 한 수학적으로 탄탄한 프레임워크를 제공하여 제약 조건이 있는 k-space 보완을 위한 것.
• 의료 영상 이외의 분야, 즉 제한된 데이터로 푸리에 도메인 신호 재구성을 필요로 하는 모든 분야로의 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 비음이 아닌 정의된 함수를 그 푸리에 변환으로 특성화하는 Bochners Theorem에 기반한다.
• 이 정리의 조건에 따라, 역 푸리에 변환 값이 음이 아니며 실수여야 한다는 조건을 이용해 알 수 없는 k-space 데이터에 대한 제약 조건을 수립한다.
• 알려진 샘플들로부터의 편차를 최소화하면서 이러한 제약 조건을 만족시키는 볼록 최적화 문제를 해결하는 알고리즘을 적용한다.
• 원래 신호가 실수이자 음이 아니라는 가정을 통해, Bochners Theorem을 활용해 k-space 내 타당 영역을 정의할 수 있다.
• Bochners Theorem에서 유도된 부등식 제약 조건을 사용하여 누락된 k-space 샘플의 가능한 값의 범위를 제한한다.
• 제약 조건이 있는 최적화를 통해 해를 계산함으로써, 매우 낮은 샘플링 밀도에서도 물리적 일관성과 안정성이 확보된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bochners Theorem이 푸리에 도메인 재구성에서 누락된 k-space 데이터를 제약 조건을 통해 보완하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 이 방법을 사용할 경우, 니크비스트 레이트 이하로 k-space가 희박하게 샘플링되었을 때 이미지 품질이 얼마나 유지될 수 있는가?
• RQ3 기존의 보간법이나 압축 감지 기법과 비교해 BICKS 방법은 재구성 정밀도와 내성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 신호의 음이 아닌 성질과 실수성은 k-space 보완의 타당성과 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 의료 영상 이외의 과학 분야로 일반화될 수 있는가? 특히 푸리에 도메인 처리가 필요한 분야에서는 어떻게 적용 가능한가?

주요 결과

• BICKS는 니크비스트 레이트보다 훨씬 낮은 샘플링 속도에서도 극도로 희박하게 샘플링된 k-space 데이터로부터 고정성 이미지 재구성을 가능하게 한다.
• Bochners Theorem에서 유도된 제약 조건을 강제함으로써 안정적이고 물리적으로 타당한 재구성을 생성한다.
• 음이 아닌 성질과 실수성 제약 조건을 사용할 경우, 제약 조건이 없는 방법에 비해 재구성 정확도가 크게 향상된다.
• 알고리즘이 낮은 샘플링 밀도에 매우 강건하여, 기존 방법이 실패하는 상황에서도 이미지 정밀도를 유지한다.
• 의료 영상 분야에서의 시연 결과, BICKS는 극히 적은 입력 데이터로도 경쟁력 있거나 그 이상의 이미지 품질을 달성한다.
• 이 방법은 기저 신호가 실수이자 음이 아닌 모든 분야로 일반화 가능하므로, 의료 영상 외의 응용 분야로의 적용 가능성이 넓다.