[논문 리뷰] V-cycle multigrid algorithms for discontinuous Galerkin methods on non-nested polytopic meshes

Paola F. Antonietti, Giorgio Pennesi|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비중첩 다각형 메esh에서 불연속 갈레르킨 방법에 대한 V-사이클 다중격자 알고리즘을 제안하며, 미세한 면이 군집된 수준로 전파되지 않도록 하기 위해 변/면 압축을 포함한 응집 기법을 사용한다. 충분한 수의 스무딩 단계를 사용할 경우 메쉬의 세분화 수준과 다항식 차수 $p$에 대해 균일 수렴성을 보이며, 기존 응집 기법에서 발생하는 미세한 면으로 인한 조건수 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we analyse the convergence properties of V-cycle multigrid algorithms for the numerical solution of the linear system of equations arising from discontinuous Galerkin discretization of second-order elliptic partial differential equations on polytopal meshes. Here, the sequence of spaces that stands at the basis of the multigrid scheme is possibly non nested and is obtained based on employing agglomeration with possible edge/face coarsening. We prove that the method converges uniformly with respect to the granularity of the grid and the polynomial approximation degree p, provided that the number of smoothing steps, which depends on p, is chosen sufficiently large.

연구 동기 및 목표

• 소면이 존재하는 다각형 메쉬에서 고차수 DG 이산화로 인한 선형 시스템의 열악한 조건수 문제를 해결하기 위해.
• 비중첩이며 응집된 메쉬를 사용하여 미세한 면이 세밀한 수준에서 군집된 수준으로 전파되지 않도록 하는 다중격자 솔버를 개발하기 위해.
• 메쉬의 세분화 수준과 다항식 차수 $p$에 대해 V-사이클 다중격자 방법의 균일 수렴성을 증명하기 위해.
• DG 방법에 적용 가능한 일반적인 비중첩 다중격자 프레임워크에 기반한 수렴성을 확립하기 위해.
• BPX 프레임워크의 한계를 극복하기 위해, 조건수 안정성 가정 $\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ 가 DG 설정에서 성립하지 않을 수 있음을 고려하여 이를 완화하기 위해.

제안 방법

• 소면이 군집된 수준으로 전파되지 않도록 하기 위해 변/면 압축을 포함한 응집 기법을 사용하여 비중첩 이산 다항식 공간의 수열을 구성한다.
• 비중첩 공간을 수용하기 위해 각 수준에 별도의 이산 이차형식을 정의하여 안정성과 정확성을 확보한다.
• 리치어드슨 스무딩과 부분공간 보정 단계를 포함한 V-사이클 다중격자 알고리즘을 사용하며, 스무딩 단계의 수는 다항식 차수 $p$에 따라 달라진다.
• 비중첩 공간 간의 보간 연산자 $I_{j-1}^j$ 와 제약 연산자 $P_j^{j-1}$ 를 사용하여 보정을 수준 간 이동시킨다.
• BPX 프레임워크를 기반으로 한 비중첩 다중격자 프레임워크를 사용하며, 안정성 및 근사 가정을 수정하여 DG 설정에 적합하도록 조정한다.
• 타원형 정규성, 근사 오차 추정, $h_j^2/p_j^{2-\mu}$ 항을 포함한 안정성 경계를 조합하여 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 V-사이클 다중격자 방법은 비중첩 다각형 메쉬에서 고차수 DG 이산화에 대해 균일 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 응집 과정에서의 변/면 압축은 군집된 수준의 메쉬에서 소면으로 인한 조건수 악화를 방지하는가?
• RQ3 다중격자 방법의 수렴성이 메쉬 크기 $h$와 다항식 차수 $p$에 대해 균일한가?
• RQ4 보간 안정성 조건 $\mathcal{A}_j(I_{j-1}^j u, I_{j-1}^j u) \leq \mathcal{A}_{j-1}(u,u)$ 가 실패할 경우, 표준 BPX 다중격자 수렴 이론을 DG 방법에 적용할 수 있는가?
• RQ5 균일 수렴을 달성하기 위한 최소 스무딩 단계 수는 얼마이며, 이 수는 $p$에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 충분한 수의 스무딩 단계를 사용할 경우, 메쉬의 세분화 수준과 다항식 차수 $p$에 대해 V-사이클 다중격자 방법이 균일하게 수렴한다. 이 수는 $p$에 따라 달라진다.
• 수렴 속도는 $\|w_{J} - I_{J-1}^{J}w_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|g\|_{L^2(\Omega)}$ 로 유계이며, 이는 최적 수렴 행동을 나타낸다.
• 표준 응집 기법에서 발생하는 조건수 문제를 방지하기 위해 변/면 압축을 사용함으로써 군집된 수준의 메쉬에 소면이 나타나지 않도록 한다.
• 분석을 통해 비중첩 다중격자 프레임워크가 DG 설정에서 표준 BPX 안정성 가정이 실패하더라도 여전히 강건함을 입증한다.
• 수렴 증명의 핵심은 $\|z_{J-1} - I_{J-1}^J z_{J-1}\|_{L^2(\Omega)} \lesssim \frac{h_J^2}{p_J^{2-\mu}}\|w_{J-1} - P_J^{J-1}w_J\|_{L^2(\Omega)}$ 이며, 이는 수렴성의 기초가 된다.
• 근사 오차 경계와 $L^2$-투영 및 보간 연산자를 포함한 안정성 추정을 조합함으로써 균일 수렴을 보장한다.