[논문 리뷰] Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 04.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 밑-$B$ 전개에서 자릿수 수세기의 생성함수를 포함하는 적분 표현을 사용하여 일반화된 오일러-상수 함수 $\gamma_{a,b}(z)$와 그 도함수의 백카 유형 및 라마누잔 유형 급수를 일반화한다. $\log\frac{4}{\pi}$, $\frac{G}{\pi}$, $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$ 및 소모스와 브라이셔-킨클러의 상수의 로그에 대한 새로운 유리수 급수를 유도하며, 밑-$B$ 자릿수 구조를 바탕으로 한 명시적인 수렴 급수 전개를 제공한다.

ABSTRACT

We generalize well-known Catalan-type integrals for Euler's constant to values of the generalized-Euler-constant function and its derivatives. Using generating functions appeared in these integral representations we give new Vacca and Ramanujan-type series for values of the generalized-Euler-constant function and Addison-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative. As a consequence, we get base $B$ rational series for $\log\frac{4}π,$ $\frac{G}π$ (where $G$ is Catalan's constant), $\frac{ζ'(2)}{π^2}$ and also for logarithms of Somos's and Glaisher-Kinkelin's constants.

연구 동기 및 목표

• 오일러 상수에 대한 카탈란 유형 적분과 백카 유형 급수의 일반화를 일반화된 오일러-상수 함수 $\gamma_{a,b}(z)$와 그 도함수로 확장한다.
• 소모스의 상수와 브라이셔-킨클러의 상수의 로그와 같은 특수 상수에 대한 새로운 유리수 급수를 도출한다.
• 밑-$B$ 전개에서의 자릿수 세기 함수와 생성함수 및 적분 변환을 통한 급수 합산 간의 관계를 설정한다.
• 밑-$B$ 자릿수 구조에 대한 다항식 가중치 합을 사용하여 $\gamma_{a,b}(z)$와 그 도함수에 대한 빠르게 수렴하는 전개를 제공한다.

제안 방법

• 밑-$B$ 전개에서 자릿수 수의 생성함수를 사용하여 오일러 상수에 대한 라마누잔 및 버너드-바우먼 적분을 일반화된 오일러-상수 함수 $\gamma_{a,b}(z)$로 일반화한다.
• $L_B(k) = \lfloor \log_B(Bk) \rfloor$로 정의된 $L_B(k)$를 $k$의 밑-$B$ 길이로 정의하고, 이를 급수 전개의 가중치로 사용한다.
• 밑-$B$ 전개에서 자릿수 또는 단어의 발생 빈도를 기반으로 생성함수 $G_B(x)$를 구성하며, 이는 $n$의 밑-$B$ 표현에서 단어 $\omega$의 수를 나타내는 $N_{\omega,B}(n)$을 암호화한다.
• 형식 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{B^n - 1} dx$의 적분을 통해 새로운 백카 유형 급수를 유도하며, 이를 $\gamma_{a,b}(z)$로 확장한다.
• 손두의 일반화된 애들슨 급수에서 유도된 다항식 $P_B(n)$을 사용하여 $\gamma_{a,b}(z)$와 그 도함수에 대한 유리수 급수의 항을 가중한다.
• 생성함수에서 유도된 재귀 수열 $a_{k,\ell}$과 $c_k$를 사용하여 최종 급수 전개의 계수를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러 상수에 대한 백카 유형 및 라마누잔 유형 급수는 일반화된 오일러-상수 함수 $\gamma_{a,b}(z)$와 그 도함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 밑-$B$ 자릿수 구조를 사용하여 $\log\frac{4}{\pi}$, $\frac{G}{\pi}$, $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$ 및 특수 상수의 로그에 대한 새로운 유리수 급수 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ3 밑-$B$ 전개에서 자릿수 수의 생성함수는 $\gamma_{a,b}(z)$의 적분 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 밑-$B$ 자릿수 수에 대한 가중치 합을 사용하여 $\gamma_{a,b}(z)$와 $\gamma'_{a,b}(z)$에 대한 빠르게 수렴하는 급수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 특수 상수에 대한 새로운 급수 전개의 계수를 지배하는 재귀 수열은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $\log\frac{4}{\pi}$에 대한 밑-$B$ 유리수 급수를 유도한다: $\log\frac{4}{\pi} = \frac{5}{8} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{2k(2k+1)(2k+2)}$, 여기서 $a_1 = 4$이고 $k \geq 2$일 때 $a_k = a_{\lfloor k/2 \rfloor} + \frac{1}{2^{k-1}}$이다.
• 브라이셔-킨클러 상수에 대한 새로운 급수는 $\log A = \frac{13}{48} - \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(7L_B(k) - 7L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + b_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$로 주어지며, $b_k$는 재귀적으로 정의된다.
• $\frac{G}{\pi}$에 대해 논문은 $\frac{G}{\pi} = \frac{11}{32} + \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{8}L_B(\lfloor k/2 \rfloor) - \frac{1}{8}L_B(k) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$를 확립하며, $c_k$는 재귀적으로 정의된다.
• $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2}$에 대한 급수는 $\frac{\zeta'(2)}{\pi^2} = -\frac{1}{16} + \frac{1}{36}\sum_{k=1}^\infty \left(4L_B(k) - L_B(\lfloor k/2 \rfloor) + c_k\right)\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$로 주어지며, $c_k$는 재귀적으로 정의된다.
• 논문은 $\gamma_{2,1}(-1)$에 대한 새로운 적분 표현을 제공한다: $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,0}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$, 여기서 $a_{k,0}$는 재귀적으로 정의된다.
• $\gamma'_{2,1}(-1)$에 대해 논문은 $\gamma'_{2,1}(-1) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{4}\log 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{k,1}\frac{P_B(k)}{Bk(Bk+1)\cdots(Bk+B)}$를 제시하며, $a_{k,1}$는 재귀적으로 정의된다.