[논문 리뷰] Valuation and hedging of OTC contracts with funding costs, collateralization and counterparty credit risk: Part 1

Tomasz R. Bielecki, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 20.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자금조달 비용, 증거금 설정, 그리고 상대방의 신용 리스크를 고려한 OTC 파생상품의 가격 책정과 헤지에 대한 통합된 마링게일 프레임워크를 개발한다. 비거래 가능할 수 있는 할인 프로세스를 사용하여 엄밀한 가격 책정 공식을 유도하며, 수정된 측도 하에서의 위험 중립적 가격 책정이 추가 조정 없이 자금조달 스프레드를 반영할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

The research presented in this work is motivated by some recent papers regarding hedging and valuation of financial securities subject to funding costs, collateralization and counterparty credit risk. Our goal is to provide a sound theoretical underpinning for some results presented in these papers by developing a unified martingale framework for the non-linear approach to hedging and pricing of OTC financial contracts. The impact that various funding bases and margin covenants exert on the values and hedging strategies for OTC contracts is examined.

연구 동기 및 목표

• 자금조달 비용과 증거금 설정 조건 하에서 OTC 파생상품의 가격 책정과 헤지에 대해 이론적으로 타당하고 히우리스틱이 아닌 프레임워크를 수립하기 위해.
• 표준 첨가 조정 접근법(예: CVA, DVA, FVA)의 결함을 보완하기 위해 헤지 전략과 자산 운용 동역학에 기반한 가격 책정을 수행하기 위해.
• 다른 자금조달 비율, 증거금 설정, 그리고 파산 메커니즘의 영향을 파생상품 가치와 헤지 전략에 정형화하기 위해.
• 거래 가능할 수 없는 할인 프로세스 하에서 가격 책정 공식을 엄밀히 유도하여 비편향된 할인 선택을 피하기 위해.
• 제2부에서 Piterbarg 및 Pallavicini 등이 제시한 모델들에 이 프레임워크를 적용하기 위한 이론적 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 각 거래 상대방에 대해 별도의 자금조달 비율을 가진 일반적인 시장 모델을 개발하여, 다양한 자금조달 및 증거금 설정 규칙 하에서 자산 운용 동역학을 모델링한다.
• 비거래 가능할 수 있는 할인 프로세스 $ B^\tau $ 를 도입하며, 여기서 $ \gamma_t $ 는 자금조달 비율이며, Girsanov 정리를 통해 해당 측도 $ \mathbb{P}^\gamma $ 를 구성한다.
• Itô 공식을 적용하여 할인된 자산 운용 프로세스 $ V^\gamma $ 의 동역학을 유도하며, 자기자산 전략이 $ \mathbb{P}^\gamma $ 하에서 마링게일이 됨을 보여준다.
• 핵심 가격 책정 공식 유도: $ \pi_t(X) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^\gamma}\left[ X B^\gamma_t (B^\gamma_T)^{-1} + B^\gamma_t \int_t^T (\gamma_u - r^0_u)(\pi_u(X) - \xi_u^1 S_u^1)(B^\gamma_u)^{-1} du \,\middle|\, \mathcal{F}_t \right] $, 이는 자금조달 스프레드를 조정한다.
• 할인 비율이 무위험 비율이 아닐 경우, 위험 중립 측도 $ \mathbb{P}^* $ 는 유효하지 않으며, 대신 $ \mathbb{P}^\gamma $ 가 필요함을 입증한다.
• 표준 위험 중립 공식 (4.30)은 $ \gamma = r^0 $ 일 때의 특수한 경우임을 보이며, 이 외에는 (4.31)의 적분 항을 통한 조정이 필요함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자금조달 비용이 거래 상대방 간으로 다를 경우, 특히 거래 가능한 무위험 비율이 아닐 경우, OTC 파생상품에 대해 일관된 가격 책정 프레임워크를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 할인 비율이 무위험 비율이 아니고 비거래 가능할 수 있는 자금조달 비율일 경우, 올바른 위험 중립 측도는 무엇인가?
• RQ3 증거금 설정 및 정산 규칙은 자산 운용 프로세스의 동역학과 파생상품의 가격 책정에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 표준 첨가 조정 공식(예: FVA, CVA)은 헤지 논리에서 엄밀히 유도될 수 있는가, 아니면 본질적으로 잘못된가?
• RQ5 자기자산 전략의 자산 운용 프로세스와 비거래 가능 할인 프로세스 하에서의 마링게일 성질 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 비거래 가능 할인 프로세스 $ B^\gamma $ 를 통해 자금조달 비용을 반영하는 엄밀한 가격 책정 공식 (4.31)을 도출하며, 비편향된 할인 선택을 피한다.
• 측도 $ \mathbb{P}^\gamma $ 하에서 자기자산 전략의 할인된 자산 운용 프로세스 $ V^\gamma $ 가 마링게일임을 증명함으로써, 비거래 가능 자금조달 비율 하에서의 위험 중립적 가격 책정의 타당성을 입증한다.
• 표준 위험 중립 공식 (4.30)은 자금조달 비율 $ \gamma $ 가 무위험 비율 $ r^0 $ 와 동일할 때의 특수한 경우임을 보이며, 이 조건에서만 그 사용이 정당화됨을 입증한다.
• 논문은 Pallavicini 등이 [29]에서 사용한 공식(식 4.32)이 자산 운용 동역학과 드리프트 조정을 분석함으로써 엄밀한 원리에서 도출되었음을 보이며, 후행적으로 제안된 것이 아님을 입증한다.
• 첨가 조정 접근법 (1.1)이 이론적으로 부적절하다는 것을 보이며, 이는 증거금을 외생적으로 간주하기 때문인데, 실제로는 계약의 공정 가치에 따라 증거금 금액이 결정되므로 현금 흐름은 내생적임을 보여준다.
• 이 프레임워크는 다수의 자금조달 비율, 증거금, 파산 메커니즘을 포함한 복잡한 상황에서도 일관된 가격 책정을 유도할 수 있는 기초를 제공하며, 조정 항목에 대한 추측을 피한다.