[논문 리뷰] Valuations and plurisubharmonic singularities

Sébastien Boucksom, Charles Favre외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 02. 16.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원에서 복소다음함수(plurisubharmonic, psh) 함수의 특이성을 분석하기 위한 평가 이론적 프레임워크를 제안한다. 각 psh 국소 함수 $ u $ 에 대해 정규화된 평가 공간 $ \mathcal{V} $ 상의 형식적 psh 함수 $ \hat{u} $ 를 부여함으로써, 혼합 몽헤-암페르 연산자를 사용하여 일반화된 레를로 수치, 승수 이상수, 상대 유형이 모든 무한히 가까운 점들에서 $ u $ 의 레를로 수치들에 의해 완전히 결정됨을 보여주며, 이러한 모든 불변량이 평가의 평균으로서 유도됨을 증명한다.

ABSTRACT

We extend to higher dimensions some of the valuative analysis of singularities of plurisubharmonic (psh) functions developed by the last two authors. Following Kontsevich and Soibelman we describe the geometry of the space V of all normalized valuations on C[x_1,...,x_n] centered at the origin. It is a union of simplices naturally endowed with an affine structure. Using relative positivity properties of divisors living on modifications of C^n above the origin, we define formal psh functions on V, designed to be analogues of the usual psh functions. For bounded formal psh functions on V, we define a mixed Monge-Ampere operator which reflects the intersection theory of divisors above the origin of C^n. This operator associates to any (n-1)-tuple of formal psh functions a positive measure of finite mass on V. Next, we show that the collection of Lelong numbers of a given germ u of a psh function at all infinitely near points induces a formal psh function u' on V called its valuative transform. When ϕis a psh Holder weight in the sense of Demailly, the generalized Lelong number nu_ϕ(u) equals the integral of u' against the Monge-Ampere measure of the valuative transform of ϕ. In particular, any generalized Lelong number is an average of valuations. We also show how to compute the multiplier ideal of u and the relative type of u with respect to ϕin the sense of Rashkovskii, in terms of the valuative transforms of u and ϕ.

연구 동기 및 목표

• 2차원에서의 복소다음함수 특이성의 평가 분석을 특이점의 해소와 평가 이론을 활용하여 고차원으로 확장하기.
• 모든 무한히 가까운 점들에서의 $ u $ 의 레를로 수치를 캡처하는, 정규화된 평가 공간 $ \mathcal{V} $ 상의 형식적 psh 함수 $ \hat{u} $ 를 정의하기.
• 원점 위의 정수의 교차 이론을 반영하는, $ \mathcal{V} $ 상에 혼합 몽헤-암페르 연산자를 구성하기.
• 일반화된 레를로 수치, 승수 이상수, 상대 유형이 $ \hat{u} $ 의 데이터에 의해 완전히 결정됨을 보여주기.
• 일반화된 레를로 수치가 $ \hat{u} $ 를 $ \hat{\varphi} $ 의 몽헤-암페르 측도에 대해 적분함으로써 평가의 평균임을 증명하기.

제안 방법

• 원점 중심의 $ \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n] $ 의 정규화된 평가 공간 $ \mathcal{V} $ 는 히로나카의 특이점 해소를 통해 애핀 기하학적 구조를 지니며, 단체들의 합집합으로 분해된다.
• 원점 위의 수정에 대한 정수의 상대적 양성 조건을 이용하여 $ \mathcal{V} $ 상의 형식적 psh 함수를 정의한다.
• 혼합 몽헤-암페르 연산자를 $ \mathcal{V} $ 상에 구성하여, $ (n-1) $ 개의 형식적 psh 함수들에 대해 유한 질량의 양측 측도를 부여한다.
• $ u $ 의 모든 무한히 가까운 점들에서의 레를로 수치는 $ \mathcal{V} $ 상의 형식적 psh 함수 $ \hat{u} $ 에 캡처되며, 이는 $ u $ 의 특이성 데이터를 포괄한다.
• 일반화된 레를로 수치 $ \nu_\varphi(u) $ 는 적분 $ \int_{\mathcal{V}} -\hat{u} \, \text{MA}(\hat{\varphi}) $ 으로 표현되며, 이는 이를 평가 공간과 연결한다.
• 일반적인 경우를 주어진 이상수의 주 이상수에 의해 정의된 psh 가중치의 경우로 줄이기 위해 근사 기법을 사용하며, 교차 이론에서의 사영 공식과 변수 변환을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점에서의 복소다음함수 국소 함수 $ u $ 의 특이성은 모든 무한히 가까운 점들에서의 레를로 수치들로부터 완전히 복원될 수 있는가?
• RQ2 타임 psh 가중치 $ \varphi $ 와 함께 psh 함수 $ u $ 의 일반화된 레를로 수치 $ \nu_\varphi(u) $ 는 평가의 평균으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 승수 이상수와 상대 유형은 $ \hat{u} $ 에 캡처된 평가 이론적 데이터로부터 재구성될 수 있는가?
• RQ4 정규화된 평가 공간 $ \mathcal{V} $ 상의 혼합 몽헤-암페르 측도는 $ \mathbb{C}^n $ 의 원점 위의 정수의 교차 이론을 반영하는가?
• RQ5 정규화된 평가 공간 $ \mathcal{V} $ 는 복소다음함수 특이성 분석에 유리한 볼록기하학적 구조를 자연스럽게 지니는가?

주요 결과

• 일반화된 레를로 수치 $ \nu_\varphi(u) $ 는 $ \hat{u} $ 를 $ \hat{\varphi} $ 의 몽헤-암페르 측도에 대해 적분한 값과 같으며, 이는 그것이 평가의 평균임을 증명한다.
• 모든 무한히 가까운 점들에서의 $ u $ 의 레를로 수치 집합은 모든 $ t>0 $ 에 대해 승수 이상수 $ \mathcal{J}_+(tu) $ 를 결정하며, 따라서 $ \mathcal{J}_+(u) $ 는 이 데이터로부터 완전히 복원 가능하다.
• 두 함수 $ u $ 와 $ v $ 의 모든 무한히 가까운 점들에서의 레를로 수치가 일치할 때이고 그때에만 상대 유형 $ \sigma(u,\varphi) $ 와 $ \sigma(v,\varphi) $ 가 같으며, 이는 불변량의 동치성을 확립한다.
• $ \mathcal{V} $ 상의 형식적 psh 함수 $ \hat{u} $ 는 $ k \to \infty $ 일 때 $ \frac{1}{k}\log|\mathcal{J}_+(ku)| $ 의 점별 극한으로서 유도되며, 이는 승수 이상수를 평가 공간과 연결한다.
• 주 이상수 $ \mathfrak{a} $ 로 정의된 psh 가중치 $ \varphi $ 에 대해, 일반화된 레를로 수치 $ \nu_\varphi(u) $ 는 $ \mathfrak{a} $ 의 생성자들로 정의된 유한 사상 $ F $ 에 의한 $ F_*u $ 의 레를로 수치와 같다.
• 타임 psh 가중치일 경우 혼합 몽헤-암페르 측도 $ \text{MA}(\hat{\varphi}) $ 는 유한한 수의 극점 평가들에만 지지되며, 이는 명시적 적분과 근사화를 가능하게 한다.