[논문 리뷰] Valuations on convex functions and convex sets and Monge-Ampere operators

Semyon Alesker|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 26.

Geometry and complex manifolds인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 함수에 대한 덧셈에 관하여 불변인 볼록 함수 위의 연속 척도와 유타리-불변 연속 척도 사이의 깊은 연결을 확립한다. 실수, 복소수, 허밀토니안, 옥터니온의 몽체-암페르 연산자를 사용하여, 첫 번째 공간에서 두 번째 공간으로 가는 선형 사상 구축을 통해, 그 이미지가 조밀하고 핵이 무한차원임을 증명함으로써, 분할 대수에 걸쳐 고차원 기하학적 척도 이론을 통합한다.

ABSTRACT

The notion of a valuation on convex bodies is very classical. The notion of a valuation on a class of functions was recently introduced and studied by M. Ludwig and others. We study an explicit relation between continuous valuations on convex functions which are invariant under adding arbitrary linear functionals, and translations invariant continuous valuations on convex bodies. More precisely, we construct a natural linear map from the former space to the latter and prove that it has dense image and infinite dimensional kernel. The proof uses the author's irreducibility theorem and few properties of the real Monge-Ampere operators due to A.D. Alexandrov and Z. Blocki. Fur- thermore we show how to use complex, quaternionic, and octonionic Monge-Ampere operators to construct more examples of continuous valuations on convex functions in an analogous way.

연구 동기 및 목표

• 볼록 함수 위의 척도와 볼록 몰입체 위의 척도 사이의 구조적 관계를 탐색한다.
• 전통적인 볼록 집합을 넘어서 선형 함수에 대한 불변성을 갖는 볼록 함수를 포함하여 척도 이론을 확장한다.
• 실수, 복소수, 허밀토니안, 옥터니온 설정에서의 몽체-암페르 연산자가 볼록 함수 위의 새로운 연속 척도 클래스를 생성함을 보여준다.
• 함수-척도에서 몰입체-척도로의 자연스러운 사상 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 가 조밀한 이미지를 가지며 무한차원 핵을 갖는다는 것을 증명함으로써, rich한 대수적 구조를 드러낸다.

제안 방법

• dual space $ V^* $ 위의 척도 $ \Phi $ 를 $ V $ 내의 볼록 몰입체 $ K $ 에서의 척도 $ \phi $ 로 보내는 선형 사상 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 를 정의한다. 이때 $ \phi(K) = \Phi(h_K) $ 이며, $ h_K $ 는 $ K $ 의 지지함수이다.
• $ T $ 가 $ GL(V) $ 의 작용과 가환함을 증명함으로써, 저자의 기약성 정리의 적용이 가능해지며, $ T $ 의 이미지 분석이 가능해진다.
• 알렉산드로프와 블록이의 실수 몽체-암페르 연산자(의미상)를 사용하여, 선형 함수의 덧셈에 관하여 불변인 연속 척도의 구체적 예를 생성한다.
• 최근의 두 변수에 대한 옥터니온 허미션 및 행렬식 결과를 활용하여, 복소수, 허밀토니안, 옥터니온 몽체-암페르 연산자로의 일반화를 수행한다.
• 결과적으로 얻어진 함수들이 척도 성질과 $ C^0 $-위상에서의 연속성을 만족함을 보이며, 이는 $ VConv(V^*) $ 에 속함을 보장한다.
• 기약성 정리를 적용하여, $ T $ 의 이미지가 $ Val(V) $ 의 모든 기약 $ GL(V) $-부표현에 교차함을 보이며, 이는 조밀성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 함수에 대한 덧셈에 관하여 불변인 볼록 함수 위의 연속 척도는 유타리-불변 척도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 비가환성 및 비결합성을 갖는 대수(예: 허밀토니안, 옥터니온)에서 몽체-암페르 연산자가 볼록 함수 위의 새로운 척도 클래스를 생성할 수 있는가?
• RQ3 자연스러운 사상 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 의 이미지는 무엇이며, 볼록 몰입체 위의 전부 유타리-불변 척도 공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 사상의 핵이 기저 함수 공간의 대수적 복잡성과 얼마나 관련이 있는가?
• RQ5 옥터니온 몽체-암페르 연산자를 사용하여 카자르노브스키의 가짜부피의 고차원 해석을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 사상 $ T: VConv(V^*) \to Val(V) $ 는 볼록 몰입체 위의 연속 유타리-불변 척도 공간에서 조밀한 이미지를 갖는다.
• $ T $ 의 핵은 무한차원이며, 이는 볼록 몰입체 위에서 영 함수럴로 간주되는 함수-값 척도의 광범위한 공간이 있음을 시사한다.
• 실수 몽체-암페르 연산자를 사용한 볼록 함수 위의 척도 구축은 연속성과 척도 성질을 만족하는 함수들을 생성하며, 이는 블록과 알렉산드로프의 결과에 의해 입증되었다.
• 유사한 구축 방식으로 복소수, 허밀토니안, 옥터니온 몽체-암페르 연산자를 사용하면, 선형 함수의 덧셈에 관하여 불변인 볼록 함수 위의 연속 척도를 생성할 수 있다.
• 두 변수에 대한 옥터니온 허미션의 혼합 행렬식은 부호가 있는 측도를 정의하며, 이는 컴acts지지 함수에 대한 적분을 통해 연속 척도를 유도한다.
• 지지함수로 제한되었을 때, 얻어진 볼록 몰입체 위의 척도들은 상호 비례하며, 이는 카자르노브스키의 가짜부피에 대한 옥터니온 해석을 형성한다.