[논문 리뷰] Value distribution and potential theory

Alexandre Erëmenko|ArXiv.org|2003. 04. 22.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 26인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 잠재력 이론적 방법을 사용하여 피카르 정리와 네바린나의 제2 보조정리를 준정칙 사상과 해석적 곡선으로 확장한다. 값 생략과 결함에 대한 경계를 설정한다. $K$-준정칙 사상 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$는 유한한 수의 값을 생략할 수 있으며, 그 수는 $n$과 $K$에 의해 유계된다. 또한 비선형 분할을 가진 프로젝티브 공간 내 곡선에 대한 제2 보조정리의 개선된 형태를 제공한다.

ABSTRACT

We describe some results of value distribution theory of holomorphic curves and quasiregular maps, which are obtained using potential theory. Among the results discussed are: extensions of Picard's theorems to quasiregular maps between Riemannian manifolds, a version of the Second Main Theorem of Nevanlinna for curves in projective space and non-linear divisors, description of extremal functions in Nevanlinna theory and results related to Cartan's 1928 conjecture on holomorphic curves in the unit disc omitting hyperplanes.

연구 동기 및 목표

• 리만 다양체 사이의 준정칙 사상에 대해 잠재력 이론 기법을 사용하여 피카르 정리를 일반화한다.
• 비선형 분할을 가진 프로젝티브 공간 내 해석적 곡선에 대해 네바린나의 제2 보조정리를 확장한다.
• 네바린나 이론 내 극한 함수를 기술하고, 해석적 곡선이 초평면을 생략할 경우 1928년 카르탕의 추측을 해결한다.
• 단위 원판에서 초표면을 생략하는 해석적 사상에 대한 정량적 추정을 수립하여 랑게의 정리를 일반화한다.
• 해석적 함수의 정상 가속도 가족이 보렐 유형 관계를 만족할 경우 카르탕의 추측이 고차원에서 성립하는지 조사한다.

제안 방법

• 값 생략 가정에서 모순를 이끌어내기 위해 하르낙 부등식과 조화 함수의 유일성 정리에 기반한 스케일링 기법을 사용한다.
• 준정칙 잠재력 이론 내 조화 함수의 일반화인 $A$-조화 함수를 적용한다. $f$가 $a$를 생략할 경우 $\log|f-a|$는 $A$-조화 함수가 된다.
• 조화 함수 대신 $A$-조화 함수를 사용하여 준정칙 사상으로의 스케일링 기법을 일반화한다.
• 비영인 $A$-조화 함수에 대해 $v_j^+ = \cdots = v_m^+$, $v_i \vee v_j \geq 0$, $v_j(0) = 0$ 형태의 부등식을 유도하여 값 분포를 분석한다.
• 정량적 잠재력 이론 추정(예: [22]에서의 것)을 사용하여 단위 원판 설정에서 유일성 정리를 효과적인 경계로 대체한다.
• Borel 유형 관계 $\sum f_j = 0$를 만족하는 해석적 함수의 정상 가속도 가족을 분석하기 위해 C-클래스 개념을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력 이론적 방법을 사용하여 리만 다양체 사이의 준정칙 사상에 대해 피카르 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 $K$-준정칙 사상 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$의 생략 가능한 값의 수에 대한 최선의 상한은 무엇인가?
• RQ3 비선형 분할을 가진 프로젝티브 공간 내 해석적 곡선에 대해 네바린나의 제2 보조정리는 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 해석적 함수의 정상 가속도 가족이 $\sum f_j = 0$를 만족할 경우 카르탕의 추측은 고차원에서 일반적으로 성립하는가?
• RQ5 단위 원판에서 초표면을 생략하는 해석적 사상에 대한 효과적 추정을 유도할 수 있으며, 이는 랑게의 정리를 일반화하는가?

주요 결과

• $K$-준정칙 사상 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$는 $n$과 $K$에 따라 유계되는 유한한 수의 값을 생략할 수 있으며, 리카르만의 정리를 일반화한다.
• 프로젝티브 공간 내 해석적 곡선에 대해 $\sum_{j=1}^q \delta(a_j,f) + \theta(f) \leq n+1$이 성립한다. 여기서 $\theta(f) = \limsup_{r\to\infty} \frac{N_1(r,f)}{T(r,f)}$이다.
• 일반적으로 $n=1$일 때 $\theta(f) = 0$은 유한한 하한 차수를 가진 함수에 대해 $\sum \delta(a,f) = 2$와 동치이다.
• 카르탕의 추측은 일반적으로 $p \geq 5$일 때 성립하지 않지만, 5개의 평면을 생략하는 사상에 대해 $\mathbb{P}^3$ 내에서 수정된 버전(추측 B)은 성립한다.
• $p=5$일 때 추측 B는 증명된다: $r_p < 1$이 존재하여 $|z| < r_p$에서 카르탕의 추측의 결론이 성립한다.
• 값 생략이 $m$개일 경우 $A$-조화 함수를 사용한 스케일링 기법은 모순을 유도하며, 이는 잠재력 이론 부등식이 유도하는 경계를 초월할 수 없음을 보여준다.