[논문 리뷰] Value distribution of meromorphic transforms and applications

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|2003. 06. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 콪 pact한 카플러 다양체 간의 매립형 변환에 대해 전이의 전역 등분포 조건을 설정하며, 전류의 의미에서 정규화된 Dirac 질량의 역상 수렴이 0으로 수렴함을 증명한다. 주요 결과는 $ d_t^{-n}(f^n)^*\omega^k $ 가 확률 측도 $ \mu $로 수렴하고, $ f^*\mu = d_t \mu $ 를 만족하며, $ \mu $-적분 가능성을 갖는 준-피조하르모닉 함수와 $ f $ 가 매립형 사상일 경우 지수 혼합성을 갖는다.

ABSTRACT

A meromorphic transform between complex manifolds is a surjective mutivalued map with an analytic graph. Let $F_n$ be a sequence of meromorphic transforms from a compact Kahler manifold X into compact Kahler manifolds X_n. We give conditions which imply that the behavior of the sequence of preimages $F_n^{-1}(x_n)$ of x_n does not depend on the generic sequence of points (x_1,x_2,....). Using this formalism, we obtain sharp results on the limit distribution of common zeros, of $l$ random holomorphic sections of high powers $L^n$ of a positive holomorphic line bundle L over a projective manifold X. We consider also the equidistribution problem for random iteration of correspondences. If f is a meromorphic self correspondence of a compact Kahler manifold X, under a hypothesis on the dynamical degrees, we construct an $f^*$-invariant probability measure $μ$ such that quasi-p.s.h. functions are $μ$-integrable. Every projective manifold admits such correspondences. When f is a meromorphic map, the measure $μ$ is exponentially mixing. We give some analogous results for random iterations of correspondences. We also consider the problem of equidistribution of preimages of subvarieties for a correspondences and more precisely for polynomial automorphisms.

연구 동기 및 목표

• 매립형 변환에 의한 역상이 전류의 의미에서 渐近적으로 등분포가 되는 조건을 확립하는 것.
• 고차수의 양의 선다발의 랜덤 헬모르피크 섹션의 영 전류의 극한 분포를 분석하는 것.
• 콤���트 카플러 다양체 사이의 대응관계 수열에 의한 측도의 반복된 당김의 수렴을 연구하는 것.
• 매립형 대응관계 반복으로 유도되는 불변 측도 $ \mu $ 를 특성화하고, 그의 에르고딕성 및 적분 가능성 성질을 확립하는 것.

제안 방법

• 콤팩트 카플러 다양체 사이의 해석적 그래프를 갖는 매립형 변환의 형식을 사용하여, (l,l) 차원의 전류로서 Dirac 질량의 당김을 정의한다.
• 타겟 점 $ x_n $ 의 랜덤성 모델링을 위해 무한 곱공간 $ \mathbf{X} = \prod_{n \geq 1} X_n $ 상에 제품 측도 $ \sigma $ 를 도입한다.
• 준-다중하르모닉 함수의 하위레벨 집합의 측도 감쇠를 제어하기 위해 Ruelle-Perron-Fröbenius 방법을 통한 스펙트럼 갭 유형의 추론을 적용한다.
• 함수의 평균에서 벗어나는 집합의 측도를 제한하기 위해 $ R_1 $-노름과 지수 농도 불등식을 활용한다.
• 프비니 정리와 조건부 측도에 대한 반복적 추정을 사용하여 곱공간에서 예외 집합의 측도를 제어한다.
• 양의 폐쇄 전류 이론과 $ dd^c $-연산자를 사용하여 준-피조하르모닉 함수의 곡률을 제어하고, $ \mu $ 의 적분 가능성 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이의 정규화된 차이 $ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] $ 이 전류의 의미에서 0으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 수열 $ \frac{1}{d(F_n)}(F_n)^*\delta_{x_n} $ 가 한 측도로 수렴하는 조건은 언제인가?
• RQ3 수렴한 $ d_t^{-n}(f^n)^*\omega^k $ 의 극한으로 얻어지는 불변 측도 $ \mu $ 는 무엇이며, 그 동역학적 성질과 적분 가능성 성질은 무엇인가?
• RQ4 랜덤 헬모르피크 섹션의 영 전류의 등분포는 양의 선다발의 곡률 형식 $ \omega $ 와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $ \sigma $-거의 모든 수열 $ (x_n) \in \mathbf{X} $ 에 대해, Dirac 질량의 정규화된 당김 차이는 전류의 의미에서 0으로 수렴한다: $ \frac{1}{d(F_n)}[(F_n)^*\delta_{x_n} - (F_n)^*\delta_{x_n'}] \to 0 $.
• 극한 측도 $ \mu $ 는 고유값 방정식 $ f^*\mu = d_t \mu $ 를 만족하며, 여기서 $ d_t $ 는 매립형 대응관계 $ f $ 의 최상위 차수이다.
• 준-피조하르모닉 함수는 $ \mu $-적분 가능하며, $ f $ 가 매립형 사상일 경우 측도 $ \mu $ 는 지수 혼합성을 갖는다.
• 선다발 $ L^n $ 의 랜덤 헬모르피크 섹션에 대해, 정규화된 영 전류 $ \frac{1}{n}[Z_{s_n}] $ 는 $ \sigma $-거의 확실히 곡률 형식 $ \omega $ 로 수렴한다.
• 다중 프로젝티브 설정 $ \mathbb{P}^{k,l} $ 에서 $ R_1 $-노름은 $ c(1 + \log k) $ 로 유계이며, 농도 함수는 $ \Delta \leq c k^m \exp(-\alpha t) $ 로 지수적으로 감쇠한다.
• 농도 추정의 상수들은 인자 수 $ l $ 에만 의존하며, $ k $ 에는 의존하지 않아 차원에 관계없이 균일한 제어를 보장한다.