[논문 리뷰] Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients

Pieter Moree, Huib Hommersom|ArXiv.org|2003. 07. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 19인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 라만두잔 합 $ c_n(k) $와 원분 다항식의 계수 $ a_n(k) $의 값 분포를 $ n $ 또는 소수 $ p $ 가 변할 때 연구한다. 1970년 모ллер의 $ a_n(k) $의 평균에 관한 추측을 반증하며, 원분의 원근의 대칭 함수와 이러한 산수적 대상 간의 관계를 설정하고, 소수 모듈로에서의 분포에 대한 상세한 점근적 및 수치적 분석을 제공한다.

ABSTRACT

The Ramanujan sum c_n(k) and a_n(k), the kth coefficient of the nth cyclotomic polynomial, are completely symmetric expressions in terms of primitive nth roots of unity. For fixed k we study the value distribution of c_n(k) (following A. Wintner) and a_n(k) (partly following H. Moller). In particular we disprove a 1970 conjecture of H. Moller on the average (over n) of a_n(k). We show that certain symmetric functions in primitive roots considered by the Dence brothers are related to the behaviour of c_{p-1}(k) and a_{p-1}(k) as p ranges over the primes and study their value distribution as well. This paper is an outgrowth of the M.Sc. thesis project of the second author, carried out under the supervision of the first author at the Korteweg-de Vries Institute (University of Amsterdam) and is written in M.Sc. thesis style. We gratefully acknowledge numerical assistance by Yves Gallot.

연구 동기 및 목표

• 소수 모듈로에서 원근의 대칭 함수의 값 분포에 관한 미해결 문제를 디언스 형제가 제기한 바를 해결하기 위해.
• 고정된 $ k $ 에 대해 $ n $ 이 변할 때 라만두잔 합 $ c_n(k) $ 과 원분 다항식 계수 $ a_n(k) $ 의 통계적 행동을 연구하기 위해.
• 해석적 및 수치적 방법을 사용하여 1970년 H. 모ллер이 제기한 $ a_n(k) $ 의 평균 값에 관한 추측을 반증하기 위해.
• 라만두잔 합과 원분 다항식과 같은 기본적인 수론적 대상과 원근의 대칭 함수 간의 관계를 설정하기 위해.
• 소수 $ p $ 모듈로에서 $ s_k(p) $ 와 $ S_k(p) $ 의 값 분포에 대한 종합적인 연구를 제공하기 위해, 여기서 $ s_k(p) $ 와 $ S_k(p) $ 는 소수 $ p $ 모듈로에서의 원근의 초등 대칭합과 거듭제곱합이다.

제안 방법

• 해석적 수론 기법을 사용하여 윈터의 라만두잔 합의 밀도 및 성장 차수에 관한 작업을 재편집하고 재평가한다.
• 디리클레 콬비션과 곱셈 함수 이론을 적용하여 $ c_n(k) $ 과 $ a_n(k) $ 의 산수적 구조를 분석한다.
• 모비우스 역전환과 단위근의 성질을 사용하여 원근의 대칭 함수에 대한 정확한 표현을 유도한다.
• 수치 계산(예이스 갈로의 도움을 받아)을 통해 작은 $ k $ 에 대해 $ a_n(k) $ 과 $ c_n(k) $ 를 평가하여 경험적 분포 분석을 가능하게 한다.
• 라만두잔 합과 원분 다항식 계수와의 관련성을 통해 $ s_k(p) \bmod p $ 와 $ S_k(p) \bmod p $ 의 분포를 분석한다.
• 아르틴의 원근 추측 및 밀스키의 제곱무효 이동 소수에 관한 정리의 결과를 응용하여 값 분포에 대한 확률 모델을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p $ 가 변할 때 $ s_k(p) \bmod p $ 가 어떤 값을 취하며, 빈도는 어떻게 되는가?
• RQ2 asymptotic 분포는 $ S_k(p) \bmod p $ 에 대해 어떻게 되며, 라만두잔 합과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 $ a_n(k) $ 의 평균 값은 $ n $ 에 따라 어떻게 행동하는가? 그리고 이는 1970년 모ллер의 추측을 지지하는가?
• RQ4 원근의 대칭 함수와 원분 다항식 계수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $ s_2(p) \bmod p $ 가 $ \{-1, 0, 1\} $ 에 속할 확률의 극한 빈도는 얼마이며, 첫 $ 10^6 $ 개의 소수에서 관측된 비율로 수렴하는가?

주요 결과

• 논문은 1970년 모ллер의 추측을 반증한다. 즉, $ a_n(k) $ 의 평균이 유계임을 주장하지만, 실제로는 로그적으로 증가하며 균일하게 유계가 아님을 보여준다.
• $ k=2 $ 에 대해 첫 $ 10^6 $ 개의 소수에서 $ s_2(p) \bmod p $ 의 값 분포는 약 $ 9.39\%: 62.62\%: 27.98\% $ 의 비율로 수렴하며, 이는 각각 $ 1/11 \% $, $ 7/11 \% $, $ 3/11 \% $ 로 수렴한다는 추측을 지지한다.
• $ s_k(p) \bmod p $ 의 분포는 라만두잔 합 $ c_{p-1}(k) $ 와 관련이 있으며, 값들이 작은 유한 집합에 제한됨을 보였다.
• 작은 $ k $ 에 대해 $ n $-번째 원분 다항식의 $ k $-번째 항 계수 $ a_n(k) $ 를 수치적으로 분석하였으며, $ n \bmod 60 $ 과 $ n=59,60,61 $ 에 대해 정확한 유리수 값을 계산하였다.
• $ n=61 $ 에서는 $ a_n(k) $ 의 분포를 고정밀도로 계산하였으며, $ V_{61}[+1] \bmod 1 $ 이 약 $ 0.172966 $ 임을 보여, 균일하지 않은 분포임을 나타낸다.
• 논문은 $ S_k(p) \bmod p $, 즉 소수 $ p $ 모듈로에서 원근의 $ k $-승 합이 라만두잔 합과 매우 밀접하게 연결되어 있으며, 비균일하지만 예측 가능한 분포를 보임을 증명한다.