[논문 리뷰] Values of the Euler phi function not divisible by a prescribed odd prime

Pieter Moree|ArXiv.org|2006. 11. 16.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 홀수 소수 $q$에 대해 $q \nmid \varphi(n)$ 인 정수 $n \leq x$의 개수를 세는 함수 ${\cal E}_q(x)$에 대해 더 정밀한 渐近 전개를 제공한다. Frobenian 집합과 원분체의 Dedekind zeta 함수를 사용하여, Spearman과 Williams의 결과를 개선하여 Poincaré 형식의 전체渐近 급수를 도출하고, GRH 하에서 각 $q$에 대해 라마누잔형 또는 단순 로그 적분 근사 중 어느 것이 渐近적으로 더 우월한지 규명한다.

ABSTRACT

Let phi denote Euler's phi function. For a fixed odd prime we give an asymptotic series expansion in the sense of Poincare for the number E_q(x) of n<=x such that q does not divide phi(n). Thereby we improve on a recent theorem of B.K. Spearman and K.S. Williams [Ark. Mat. 44 (2006), 166-181]. Furthermore we resolve, under the Generalized Riemann Hypothesis, which of two approximations to E_q(x) is asymptotically superior using recent results of Y. Ihara on the Euler-Kronecker constant of a number field.

연구 동기 및 목표

• Spearman과 Williams의 $n \leq x$ 이면서 $q \nmid \varphi(n)$ 인 정수의 수에 대한 渐近 추정을 개선하는 것.
• Poincaré 의미에서 ${\cal E}_q(x)$에 대한 전체 渐近 급수 전개를 제공하여 주항항 추정을 정교화하는 것.
• 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서, 두 근사 방법 중 어느 것이 ${\cal E}_q(x)$에 대해 渐近적으로 더 뛰어난지 규명하는 것.
• Euler 곱의 Dedekind zeta 함수를 사용하여 원래 공식의 상수 $C(q)$의 증명을 단순화하고 $C(q) = C(q,1)$ 임을 보이는 것.
• 오일러-크로네커 상수와 ${\cal E}_q(x)$의 渐近 행동 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 특정 $q \nmid \varphi(n)$ 인 정수 $n$의 곱셈적 구조를 모델링하기 위해, Galois 확장에서의 Frobenius 밀도를 활용한 Frobenian 소수 집합 이론을 적용한다.
• 원분체 $K(q) = \mathbb{Q}(\zeta_q)$의 Dedekind zeta 함수 $\zeta_{K(q)}(s)$를 사용하여, $s=1$ 근처의 행동이 ${\cal E}_q(x)$의 渐近 행동을 결정하는 생성 Dirichlet 급수 $h_q(s)$를 정의한다.
• $h_q(s)/s$를 $s=1$ 근처에서 전개하고, 차수 $(q-2)/(q-1)$의 극을 도출함으로써 ${\cal E}_q(x)$에 대한 Poincaré 형식의 渐近 급수를 가능하게 한다.
• 주항항 상수 $e_0(q)$를 $\zeta_{K(q)}(s)$의 $s=1$에서의 잔여류 $\alpha(q) = \mathrm{Res}_{s=1} \zeta_{K(q)}(s)$, 클래스 수 $h(q)$, 조정자 $R(q)$, 그리고 오일러 곱 $C(q,s)$로 표현한다.
• Ihara의 최신 결과를 활용하여, GRH 하에서 단순 근사 $e(q)x / \log^{1/(q-1)}x$와 라마누잔형 적분 $e(q)\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$의 오차 항을 비교한다.
• MAGMA를 이용한 수치 계산을 통해 특정 소수 $q$에 대해 이론적 근사 비교를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Spearman과 Williams의 주항항 공식을 초월하여, $n \leq x$ 이면서 $q \nmid \varphi(n)$ 인 정수의 수에 대한 渐近 추정을 개선할 수 있는가?
• RQ2 ${\cal E}_q(x)$의 정밀한 渐近 전개의 구조는 무엇이며, zeta 함수와 Frobenian 집합을 통해 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 라마누잔형 적분 근사 $\int_2^x dt / \log^{1/(q-1)}t$ 는 ${\cal E}_q(x)$에 대해 단순 근사 $x / \log^{1/(q-1)}x$ 보다 渐近적으로 더 우월한가?
• RQ4 어느 홀수 소수 $q$ 에서 라마누잔형 근사가 단순 근사보다 더 뛰어난가, GRH 하에서?
• RQ5 원래 공식의 상수 $C(q)$ 는 오일러 곱 항등식을 통해 $C(q,1)$ 로 단순화하고 재해석할 수 있는가?

주요 결과

• ${\cal E}_q(x)$ 에 대한 전체 Poincaré 형식의 渐近 전개를 확립한다: ${\cal E}_q(x) = \frac{x}{\log^{1/(q-1)}x}\left(e_0(q) + \frac{e_1(q)}{\log x} + \cdots + O\left(\frac{1}{\log^{k+1}x}\right)\right)$, 이는 Spearman과 Williams의 주항항 추정보다 훨씬 정밀하다.
• 주항항 상수 $e_0(q)$ 는 $e_0(q) = \frac{(1 - q^{-2})}{\Gamma\left(\frac{q-2}{q-1}\right) \left(C(q)(1 - q^{-1})\alpha(q)\right)^{1/(q-1)}}$ 로 명시적으로 주어지며, 여기서 $\alpha(q)$ 는 $\zeta_{K(q)}(s)$ 가 $s=1$ 에서의 잔여류이다.
• GRH 하에서, 모든 홀수 소수 $q \leq 67$ 에 대해 라마누잔형 근사는 渐近적으로 더 뛰어나며, $q > 67$ 에서는 단순 근사가 더 뛰어나다.
• 논문은 $C(q) = C(q,1)$ 임을 증명하며, 여기서 $C(q,s)$ 는 $f_p \geq 2$ 인 소수 $p \neq q$ 에 대한 오일러 곱이다. 이는 Spearman과 Williams의 원래 표현을 단순화한다.
• 수치 계산 결과, $q \leq 67$ 에서는 라마누잔형 근사가 항상 단순 근사보다 더 작은 오차를 보이며, 더 큰 $q$ 에서는 오차의 차이가 무시할 만큼 작아진다.
• 분석 결과, GRH 하에서 Ihara가 연구한 원분체 $K(q)$ 의 오일러-크로네커 상수가, 두 근사 방법을 비교하는 데 핵심적인 결정 요소임을 밝혀냈다.