[논문 리뷰] Van Stockum -- Bonnor class of asymptotically flat space-times

Łukasz Bratek, Joanna Jałocha외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 03. 29.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 강체로 움직이는 먼지에 대한 아인슈타인 방정식의 축대칭이며 점점 점점 평탄해지는 해를 포함하는 반스토크움 클래스에 속하는 무한한 해의 수열을 구성한다. 이는 이 클래스의 모든 점점 평탄한 해가 비록 비제로 각운동량을 允許하더라도 총 질량이 0이 되어야 한다는 것을 증명하며, 중심부에 곡률 특이점이 존재하여 양의 질량 분포를 균형 잡고 있음을 밝히고, 이러한 해들이 본질적인 특이점과 기하학적 제약으로 인해 은하를 모델링하는 데는 적합하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We find an infinite sequence of axially symmetric multipole solutions of Einstein equations in space-time of rigidly moving dust along field lines of time translation Killing vector. The resulting line element is necessarily of the van-Stockum class. The corresponding space-times are smooth, apart from the centre, stationary, asymptotically flat, and, for radii sufficiently large, cylindrically symmetric. All the space-times possess curvature singularity located in the centre that balances positive masses distributed in the other regions. The space-times contain internal regions where the Killing vector of axial symmetry is time-like. We prove that all asymptotically flat solutions must have vanishing total mass, although some of the solutions can have non-vanishing angular momentum. As an example we consider an asymptotically flat solution which contains only z-symmetric multipoles. It is smooth apart from two singularities located on the axis of rotation. There exist also an infinite family of internal solutions that are not asymptotically flat. We give also arguments why the van-Stockum class solutions can not be used as models of galaxies.

연구 동기 및 목표

• 강체로 움직이는 먼지에 대해 반스토크움 클래스 내에서 축대칭이며 정적이고 점점 평탄한 해의 무한한 수열을 유도하기.
• 이 해들의 기하학적 및 물리적 성질을 분석하며, 특히 특이점의 성격과 축 방향 카일링 벡터의 거동을 다루기.
• 이러한 해들이 은하의 타당한 모델이 될 수 있는지, 특히 그 점점 평탄성과 다중극 모멘트의 구조를 고려하여 판단하기.
• 점점 평탄한 반스토크움 유형의 시공간에서 질량과 각운동량에 대한 제약을 설정하기.

제안 방법

• 시간 이동 카일링 벡터를 沿해 강체 운동을 하는 먼지 유체에 대해 아인슈타인 방정식을 풀어 반스토크움 클래스의 선형 요소를 도출하기.
• 축대칭성과 점점 평탄성을 적용하여 해의 공간을 제약하기.
• 축 방향 카일링 벡터의 노름을 분석하여 인과적 구조를 조사하고, 시간적 영역이 되는 영역을 식별하기.
• 다중극 전개 기법을 사용하여 해들을 그들의 z-대칭 다중극 모멘트로 분류하기.
• ADM 형식론을 통해 총 질량을 평가하여 점점 평탄성이 유지되기 위해서는 질량이 반드시 0이 되어야 한다는 것을 보여주기.
• 곡률 특이점과 전반적인 기하학적 구조를 검토하여 이러한 해들이 은하 모델링에 물리적으로 타당한지 평가하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반스토크움 유형의 해가 축대칭성과 먼지 운동의 강체성과 함께 점점 평탄해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 반스토크움 클래스의 점점 평탄한 해가 비제로 총 질량을 가질 수 있는가, 아니면 질량은 반드시 0이어야 하는가?
• RQ3 이러한 시공간에서 곡률 특이점은 양의 질량 분포를 어떻게 균형 잡는가?
• RQ4 이러한 해들은 축 방향 카일링 벡터가 시간적인 영역을 형성하는 영역을 포함하는가, 이는 안정적인 회전 구조를 나타내는가?
• RQ5 다중극 모멘트와 점점 평탄한 거동에도 불구하고 반스토크움 유형의 해들이 왜 은하 모델로 부적합한가?

주요 결과

• 반스토크움 클래스의 모든 점점 평탄한 해는 비록 각운동량이 비제로일지라도 총 질량이 반드시 0이 되어야 한다.
• 이 해들은 중심부에 곡률 특이점을 지니며, 외부 영역의 양의 질량 분포를 균형 잡고 있다.
• 축 방향 카일링 벡터가 시간적인 영역이 되는 내부 영역이 존재하여, 이러한 영역에서 안정적인 회전 역학이 이루어짐을 나타낸다.
• z-대칭 다중극만을 포함하는 예시 해는 자전축 상의 두 개의 특이점 외에는 매끄럽다.
• 점점 평탄하지 않은 내부 해의 무한한 가족이 존재함을 확인하여, 이러한 해들이 점점 평탄한 영역 외부에서도 존재함을 입증한다.
• 반스토크움 클래스는 중심 곡률 특이점과 관측된 은하적 구조와의 기하학적 불일치로 인해 은하를 모델링할 수 없다.