[논문 리뷰] Vanishing-Error Approximate Degree and QMA Complexity

Alexander A. Sherstov, Justin Thaler|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 요소의 유일성, 전사성, 치환 테스팅과 같은 세 가지 기본 부울 함수의 사라지는 오차 근사도에 대한 날카운 경계를 설정한다. 각각 $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$, $\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$, $\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$로 스케일링됨을 보이며, 이는 이전에 상수 $\epsilon$에 대해서만 알려져 있던 결과를 임의의 매우 작은 $\epsilon > 0$로 확장한 것이다. 또한 이 근사도를 양자 멜린-아서트(QMA) 쿼리 복잡도와 연결하여, 치환 테스팅의 경우 $\Omega(n^{1/4})$의 하한을 증명함으로써 이전의 $\Omega(n^{1/6})$ 하한보다 크게 향상시켰다.

ABSTRACT

The $ε$-approximate degree of a function $f\colon X o \{0, 1\}$ is the least degree of a multivariate real polynomial $p$ such that $|p(x)-f(x)| \leq ε$ for all $x \in X$. We determine the $ε$-approximate degree of the element distinctness function, the surjectivity function, and the permutation testing problem, showing they are $Θ(n^{2/3} \log^{1/3}(1/ε))$, $ ildeΘ(n^{3/4} \log^{1/4}(1/ε))$, and $Θ(n^{1/3} \log^{2/3}(1/ε))$, respectively. Previously, these bounds were known only for constant $ε.$ We also derive a connection between vanishing-error approximate degree and quantum Merlin--Arthur (QMA) query complexity. We use this connection to show that the QMA complexity of permutation testing is $Ω(n^{1/4})$. This improves on the previous best lower bound of $Ω(n^{1/6})$ due to Aaronson (Quantum Information & Computation, 2012), and comes somewhat close to matching a known upper bound of $O(n^{1/3})$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 매우 작은 $\epsilon > 0$에 대해 요소의 유일성, 전사성, 치환 테스팅 함수의 사라지는 오차 근사도를 결정함으로써, 이전에 상수 $\epsilon$에 대해서만 알려진 결과를 확장한다.
• 사라지는 오차 근사도와 양자 멜린-아서트(QMA) 쿼리 복잡도 사이에 새로운 연결 고리를 설정한다.
• 치환 테스팅의 QMA 복잡도 하한을 이전의 $\Omega(n^{1/6})$에서 $\Omega(n^{1/4})$로 향상시켜, 알려진 상한 $O(n^{1/3})$에 가까워지도록 한다.
• 특정 하위함수 구조를 가진 함수에 대해, 유한 오차 근사도 하한을 사라지는 오차 영역으로 일반화하는 기법을 개발한다.

제안 방법

• 모든 $k \leq n$에 대해 $\text{AND}_k \circ f_{\lfloor n/k \rfloor}$를 하위함수로 포함하는 함수를 분석함으로써, 유한 오차 근사도 하한을 사라지는 오차 영역으로 옮기는 새로운 기법을 도입한다.
• 대칭화 및 순열에 대한 다항식 평균화를 사용하여, 입력 대칭성 하에서 오차 범위를 유지하는 저차수 근사 다항식을 구성한다.
• QMA 쿼리 프로토콜과 저차수 다항식 간의 연결 고리를 활용하고, Marriott-Watrous 강화 기법의 변형을 사용하여 오차와 차수를 통제할 수 있는 다항식 표현을 유도한다.
• 근사도 하한을 적용하여, 한쪽 근사도와 쿼리 비용을 비교함으로써 QMA 쿼리 복잡도 하한을 유도한다.
• Beals 등이 증명한 lin, $T$-쿼리 양자 알고리즘의 수용 확률은 차수 $2T$의 다항식임을 이용하여 QMA 프로토콜을 저차수 다항식과 연결한다.
• 오차 $\epsilon < 1/3^n$에 대해 양자 쿼리 하한과 다항식 보간을 사용하여 경계의 최적성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 매우 작은 $\epsilon$에 대해 요소의 유일성 함수의 정확한 사라지는 오차 근사도는 무엇인가?
• RQ2 전사성과 치환 테스팅의 사라지는 오차 근사도는 상수-$\epsilon$ 영역을 넘어서서 날카운 특성으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 구조적 함수에 대해, 유한 오차 근사도 하한을 사라지는 오차 영역으로 일반화할 수 있는 일반적인 방법이 존재하는가?
• RQ4 사라지는 오차 근사도는 양자 쿼리 복잡도, 특히 QMA 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 치환 테스팅의 $\Omega(n^{1/4})$ QMA 하한과 $O(n^{1/3})$ 상한 사이의 격차를 메울 수 있는가?

주요 결과

• 요소의 유일성의 $\epsilon$-근사도는 $\Theta(n^{2/3}\log^{1/3}(1/\epsilon))$이며, 최고의 알려진 구성과 일치하고 최적성을 증명한다.
• 전사성의 $\epsilon$-근사도는 $\tilde{\Theta}(n^{3/4}\log^{1/4}(1/\epsilon))$이며, 이는 이전 결과를 사라지는 오차 영역으로 확장한 것이다.
• 치환 테스팅의 $\epsilon$-근사도는 $\Theta(n^{1/3}\log^{2/3}(1/\epsilon))$이며, 양자 쿼리 논증을 통해 날카운 것으로 입증된다.
• 치환 테스팅의 QMA 쿼리 복잡도는 $\Omega(n^{1/4})$이며, 이는 이전의 $\Omega(n^{1/6})$ 하한을 향상시킨 것이다.
• k-요소의 유일성에 대해, $\epsilon$-근사도는 $\tilde{\Omega}(n^{3/4 - 1/(2k)} \log^{1/4 + 1/(2k)}(1/\epsilon))$이며, 알려진 상한에 가까워진다.
• 논문은 표준 오차 감소 기법이 하향 수준 근사도를 가진 어떤 함수에 대해서도 날카운 것으로 알려져 있지 않음을 보여주며, 이 분야의 열린 문제를 부각시킨다.