[논문 리뷰] Vanishing of L-functions of elliptic curves over number fields

Chantal David, Jack Fearnley외 1명|ArXiv.org|2004. 06. 01.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 소수 차수 $k$를 가진 딜리클 캐릭터 $\chi$에 대해 $\mathbb{Q}$ 위의 타원곡선 $E$의 비틀린 $L$-함수 $L_E(1,\chi)$의 영점 여부를 랜덤 매트릭스 이론을 통해 예측한다. $k=3$인 경우 무한히 많은 영점이 존재할 것이라 추측하며, $k \geq 7$인 경우는 유한히 존재할 것이라 추측한다. $k=5$는 수렴과 발산의 경계에 놓여 있다. 이러한 예측은 버치와 스위너튼-다이어 추측을 통해 $E$의 순서 수 증가와 연결된다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$, with L-function $L_E(s)$. For any primitive Dirichlet character $χ$, let $L_E(s, χ)$ be the L-function of $E$ twisted by $χ$. In this paper, we use random matrix theory to study vanishing of the twisted L-functions $L_E(s, χ)$ at the central value $s=1$. In particular, random matrix theory predicts that there are infinitely many characters of order 3 and 5 such that $L_E(1, χ)=0$, but that for any fixed prime $k \geq 7$, there are only finitely many character of order $k$ such that $L_E(1, χ)$ vanishes. With the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, those conjectures can be restated to predict the number of cyclic extensions $K/\mathbb{Q}$ of prime degree such that $E$ acquires new rank over $K$.

연구 동기 및 목표

• 소수 차수를 가진 아벨 확장 $K/\mathbb{Q}$ 에서 타원곡선 $E$ 의 순서 수가 어떻게 증가하는지 이해하는 것.
• 비틀린 $L$-함수 $L_E(1,\chi)$ 가 중심 임계점에서 영이 되는 빈도를 조사하는 것.
• 랜덤 매트릭스 이론을 적용하여 소수 차수 $k$를 가진 캐릭터에 대해 이러한 영점 비틀림의 渐近 분포를 예측하는 것.
• 버치와 스위너튼-다이어 추측 하에 순서 수 증가 문제를 $E$ 가 새로운 순서 수를 확보하는 $\mathbb{Q}$ 의 순환 확장 $K/\mathbb{Q}$ 의 수로 재구성하는 것.

제안 방법

• 모듈러 기호를 사용하여 특수값 $L_E(1,\chi)$ 를 캐릭터 $\chi$ 에 따라 달라지는 대수적 정수 $n_E(\chi)$ 를 포함하는 곱으로 표현한다.
• 대수적 정수 $n_E(\chi)$ 를 $\mathbb{C}$ 에 통합하여 이들을 격자점으로 이산화한다.
• 케이팅과 스나이스의 랜덤 매트릭스 모델을 적용하여 $|L_E(1,\chi)|$ 가 작아질 확률을 추정하며, 랜덤 매트릭스의 특성다항식을 사용한다.
• 여러 개의 갈루아 켤레가 동시에 작아질 확률을 묶어 영점 발생 확률을 추정한다.
• 얻어진 확률 추정치를 바탕으로 $X$ 이하의 도수를 가진 모든 캐릭터에 대해 합산하여, 영점 비틀림의 수 $N_{E,k}(X)$ 에 대한 渐近 추측에 도달한다.
• 버치와 스위너튼-다이어 추측 하에 추측된 영점 비틀림 수를 $E$ 가 순서 수를 확보하는 $\mathbb{Q}$ 의 순환 확장 $K/\mathbb{Q}$ 의 수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디리클 캐릭터의 차수 $k$ 가 어느 경우에 대해 $L_E(1,\chi) = 0$ 인 비틀림 $\chi$ 가 무한히 존재하는가?
• RQ2 도수 크기 $X$ 의 함수로 이러한 영점 비틀림의 수의 渐近 성장률은 어떻게 되는가?
• RQ3 $L_E(1,\chi)$ 의 영점은 $\mathbb{Q}$ 의 차수 $k$ 의 순환 확장 $K/\mathbb{Q}$ 에서 $E$ 의 순서 수 증가와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $k=7$ 에서 행동이 변하는 이유는 무엇인가? 이 경우는 오직 유한히 많은 영점 비틀림만 존재할 것으로 기대된다.

주요 결과

• $k=3$ 인 경우, $X \to \infty$ 일 때 $\log N_{E,3}(X) \sim \frac{1}{2}\log X$ 를 만족하며, 이는 무한히 많은 비틀림이 존재함을 시사한다.
• $k=5$ 인 경우, $N_{E,5}(X)$ 는 유계적이지만 $X$ 의 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 증가한다. 즉, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $N_{E,5}(X) \ll X^\epsilon$ 이며, 이는 무한히 있지만 흐리게 흩어진 영점 비틀림이 있음을 시사한다.
• $k \geq 7$ 인 경우, $X \to \infty$ 일 때 $N_{E,k}(X)$ 는 유계이므로 오직 유한히 많은 영점 비틀림이 존재함을 의미한다.
• 랜덤 매트릭스 모델은 $k$-차수 캐릭터에 대해 영점 발생 확률이 $\frac{\log^{(k-1)/8} m}{m^{(k-1)/4}}$ 의 속도로 감소함을 예측하며, 이는 $k \geq 7$ 에서 수렴하는 합을 이끌어내어 유계성과 일치한다.
• $k=3,5,7$ 에 대해 도수 최대 두 백만 이하의 크레모나 곡선에서의 수치적 증거는 추측을 지지하며, $k$ 가 증가할수록 영점 비틀림의 희귀성이 증가함을 보여준다.
• $k=11$ 에 대해 도수 최대 두 백만 이하의 곡선에서 영점 비틀림을 발견하지 못했으며, 이는 $k \geq 7$ 에서 $N_{E,k}(X)$ 가 유계이므로 일관된 결과이다.