[논문 리뷰] Vanishing of the first reduced cohomology with values in an $L^p$-representation

Romain Tessera|ArXiv.org|2006. 10. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 연결된 애미니티브 리 군과 폴리사이클릭 군을 포함한 광범위한 애미니티브 군의 범주에서, 강한 혼합성을 갖는 $L^p$-표현을 값으로 가지는 첫 번째 감소 코homology 가 $1 < p < ∞$ 에서 영이 됨을 증명한다. 이 결과는 유한 생성 애미니티브 군에 대해 첫 번째 감소 $ε^p$-cohomology 가 영이 되어야 한다는 그로모프의 추측을 확인하고, 고르모프 하이퍼볼릭이면서 무한에서 닫혀 있는 리만다만의 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 영이 되어야 한다는 반수의 추측을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing Lp-representation, p larger than 1, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced lp-cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced Lp-cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also prove that a Gromov hyperbolic geodesic metric measure space with bounded geometry admitting a bi-Lipschitz embedded 3-regular tree has non-trivial first reduced Lp-cohomology for large enough p. Combining our results with those of Pansu, we characterize Gromov hyperbolic homogeneous manifolds: these are the ones having non-zero first reduced Lp-cohomology for some p larger than 1.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 애미니티브 군이 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 첫 번째 감소 $\ell^p$-cohomology 가 자명함을 증명하는 것.
• 고르모프 하이퍼볼릭이면서 무한에서 닫혀 있는 리만다만에서 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 영이 됨을 증명하는 것.
• 일부 $1 < p < \infty$ 에 대해 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 비영이 되는 것으로 Gromov 하이퍼볼릭 동차 다각형을 특성화하는 것.
• 애미니티브 군에서 $L^p$-표현에 대해 Property $H_{FD}$ 의 준위치 등급의 쿼라-이소메트리 불변 버전을 수립하는 것.
• 기하학적 구조(예: 비-리프츠-임베디드 트리)와 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 의 비자명성 간의 관계를 분석하는 것.

제안 방법

• 강한 혼합성 특성을 갖는 $L^p$-표현의 개념을 사용—연속적인 이소메트릭 작용으로서 $L^p$-공간 위에 정의된 강력한 혼합 성질을 가진 표현.
• 애미니티브 군의 코homological 행동을 분석하기 위해 제어된 폴러 시퀀스(Propert (CF))의 개념을 적용.
• Gromov 하이퍼볼릭 공간에 임베디드된 3-정규 트리의 경계에서 정의된 리프츠 함수를 연장하여 $\overline{H}_p^1(X)$ 내에 비자명한 코사이클을 구성.
• 준-지오데식 사슬과 경계 식별을 사용하여, 큰 $p$ 에 대해 $D_p(X)$ 에 속하는 함수 $f$ 를 메트릭 공간 $X$ 위에 정의.
• 기본점에서의 지오데식 사슬과 거리가 유한한 모든 점을 포함하는 모델 공간으로 일반적인 경우를 환원하기 위해, 각 정점에 $\mathbf{N}$ 을 첨부하는 방식으로 $\tilde{X}$ 를 구성.
• 1-스켈레톤에서 사이클과의 커플링을 사용하여, 함수가 비-상수인 비-리프츠-임베디드 트리 위에서의 비자명성을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로모프의 추측에 따르면, 모든 유한 생성 애미니티브 군이 $1 < p < \infty$ 에 대해 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 영이 되는가?
• RQ2 반수의 추측에 따르면, 고르모프 하이퍼볼릭이면서 무한에서 닫혀 있는 리만다만에서 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 영이 되는가?
• RQ3 비-리프츠-임베디드 3-정규 트리의 존재와 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 의 비자명성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 의 영이 되는 성질이 고르모프 하이퍼볼릭 동차 다각형을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 애미니티브 군에서 $L^p$-표현에 대해 쿼라-이소메트리 불변의 일반화된 $H_{FD}$ 성질이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 연결 애미니티브 리 군과 폴리사이클릭 군에 대해, 강한 혼합성 $L^p$-표현을 값으로 가지는 첫 번째 감소 코homology 는 $1 < p < \infty$ 에서 영이 된다.
• 이 결과는 모든 유한 생성 애미니티브 군이 $1 < p < \infty$ 에 대해 첫 번째 감소 $\ell^p$-cohomology 가 자명함을 증명하는 그로모프의 추측을 확인한다.
• 모든 동차이고 무한에서 닫혀 있는 리만다만에서 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 는 영이 되며, 이는 반수의 추측을 증명한다.
• 유한한 기하학적 성질과 함께 비-리프츠-임베디드 3-정규 트리가 존재하는 고르모프 하이퍼볼릭 지오데식 메트릭 측도 공간은 충분히 큰 $p$ 에 대해 비자명한 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 를 갖는다.
• 연결 리 군이 어떤 $1 < p < \infty$ 에 대해 비영인 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 를 갖는 것은 고르모프 하이퍼볼릭일 때에만 성립한다.
• 주요 결과와 반수의 작업을 조합하면, 어떤 $1 < p < \infty$ 에 대해 첫 번째 감소 $L^p$-cohomology 가 비영이 되는 것과 동치로 고르모프 하이퍼볼릭 동차 다각형을 특성화할 수 있다.