[논문 리뷰] Vanishing Viscosity Limit for Isentropic Navier-Stokes Equations with Density-dependent Viscosity

Feimin Huang, Ronghua Pan외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 21.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 47인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 밀도에 의존하는 점성($\alpha$-CNS)을 갖는 일차원 등엔트로피 압축성 라우아르-스톡스 방정식에 대한 점성 소멸 극한을 확립하며, $\varepsilon \to 0$ 일 때 점성 해의 비점성 극한으로 유한 에너지 엔트로피 해가 등엔트로피 오일러 방정식에서 유도됨을 증명한다. 증명은 $L^\infty$ 프레임워크에서의 균일한 추정과 컴팩턴스 추론에 기반하며, $\alpha > 0$ 인 밀도에 의존하는 점성의 경우 이전 결과를 확장한다. 주요 기여는 물리적으로 타당한 점성 모델 하에서 더 넓은 범위의 초기 자료에 대해 비점성 극한의 정당화이다.

ABSTRACT

In this paper, we study the vanishing viscosity limit of one-dimensional isentropic compressible Navier-Stokes equations with density-dependent viscosity, to the isentropic compressible Euler equations. Based on several new uniform estimates to the viscous systems, in addition to the framework recently established by G. Chen and M. Perepelitsa, we justify that the finite energy solution of the isentropic compressible Euler equations for a large class of initial data can be obtained as the inviscid limit of the compressible Navier-Stokes equations even when the viscosity depends on the density.

연구 동기 및 목표

• 밀도에 의존하는 점성($\alpha$-CNS)을 갖는 등엔트로피 압축성 라우아르-스톡스 방정식의 점성 소멸 극한을 정당화하는 것.
• Chen와 Perepelitsa(2010)의 프레임워크를 $\alpha > 0$ 인 경우로 확장하여 점성이 밀도에 따라 변하는 경우, 즉 비균일 기체와 얕은 수면 유동을 모델링하는 경우를 다루는 것.
• 초기 자료가 진공에 가까울 수 있는 큰 범위의 초기 자료에 대해, 오일러 방정식의 유한 에너지 엔트로피 해로의 수렴을 확립하는 것.
• 진공 근처에서 BV 추정의 곤경을 $L^\infty$ 프레임워크와 보완된 컴팩턴스 기법을 사용하여 극복하는 것.

제안 방법

• 에너지 및 엔트로피 구조를 활용하여 $L^\infty$ 프레임워크에서 $\alpha$-CNS 시스템에 대한 균일한 추정을 유도하는 것.
• 점성 시스템을 위한 엔트로피-엔트로피 플럭스 쌍 $\eta^\psi$, $q^\psi$ 를 구성하고 그 진화 방정식을 유도하는 것.
• 보완된 컴팩턴스 방법을 적용하여 $1 < p < 2$ 인 $W^{-1,p}_{\text{loc}}$ 에서 엔트로피 플럭스 도함수의 컴팩턴스를 보이는 것.
• 카우치-슈바르츠 및 보간 추정을 사용하여 점성 소산 항을 유계로 제한하고, $\varepsilon \to 0$ 일 때 이들이 소멸함을 보이는 것.
• 엔트로피와 플럭스가 $p_3 > 2$ 인 $L^{p_3}$ 에서 균일 유계임을 확립하여 엔트로피-플럭스 쌍의 약한 컴팩턴스를 보장하는 것.
• Chen와 Perepelitsa의 정리 1.2를 활용하여 거의 모든 곳에서 오일러 방정식의 유한 에너지 엔트로피 해로 수렴하는 부분수열을 추출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도에 의존하는 점성일 경우, 등엔트로피 압축성 라우아르-스톡스 방정식에 대한 점성 소멸 극한을 정당화할 수 있는가?
• RQ2 초기 점성 계수 $\alpha > 0$ 인 $\alpha$-CNS 시스템에서, 유한 에너지 엔트로피 해가 비점성 극한으로서 오일러 방정식의 해로 나타나는가?
• RQ3 초기 자료가 진공에서 떨어져 있어도, $L^\infty$ 프레임워크에서 $\alpha$-CNS에 대해 균일한 추정과 컴팩턴스 추론을 확립할 수 있는가?
• RQ4 밀도에 의존하는 점성 항 $\varepsilon (\rho^\alpha u_x)_x$ 는 오일러 방정식으로의 수렴에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 비정수 점성 계수를 갖는 점성 시스템에 대해 보완된 컴팩턴스 방법이 적용 가능한가?

주요 결과

• 점성 해 $(\rho^\varepsilon, m^\varepsilon)$ 는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 거의 모든 곳에서 등엔트로피 오일러 방정식의 유한 에너지 엔트로피 해 $(\rho, m)$ 로 수렴한다.
• 점성 소산 항인 $\varepsilon \rho^\alpha (u_x^\varepsilon)^2$ 와 $\varepsilon \rho^\alpha \rho_x^\varepsilon u_x^\varepsilon$ 는 $L^1$ 에서 균일 유계이며, $1 < p < 2$ 인 $W^{-1,p}_{\text{loc}}$ 에서 컴팩트하다.
• 엔트로피-플럭스 쌍 $\eta^\psi(\rho^\varepsilon, m^\varepsilon)_t + q^\psi(\rho^\varepsilon, m^\varepsilon)_x$ 는 어떤 $1 < p_2 < 2$ 에 대해 $W^{-1,p_2}_{\text{loc}}$ 에서 컴팩트하며, 수렴 가능성을 보장한다.
• 엔트로피와 플럭스는 $p_3 > 2$ 인 $L^{p_3}_{\text{loc}}$ 에서 균일 유계이며, 이는 약한 컴팩턴스를 보장하고 수렴 추론을 뒷받침한다.
• 결과는 $\gamma > 1$ 인 경우에 적용되며, 물리적으로 타당한 등온 지수의 범위를 커버하며, 진공에서 떨어진 초기 자료에 대해서도 성립한다.
• 이 증명은 Chen과 Perepelitsa(2010)의 프레임워크를 밀도에 의존하는 점성의 경우로 확장하여, $\alpha > 0$ 인 비점성 극한에 대한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다.