[논문 리뷰] Vanishing Viscosity Limit of the Navier-Stokes Equations to the Euler Equations for Compressible Fluid Flow

Gui‐Qiang Chen, Mikhail Perepelitsa|ArXiv.org|2009. 10. 13.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일차원 압축성 유체 흐름에서 실제 물리적 점성에 기인한 도전 과제를 극복하기 위해 균일한 에너지 추정과 $H^{-1}$에서의 엔트로피 소산 측도의 컴팩턴스를 개발함으로써, 나비에-스토크스 방정식의 점성 계수를 0으로 줄이는 극한을 등온성 유레르 방정식으로 설정한다. 주요 결과는 $\gamma \geq 3$일 때 나비에-스토크스 해가 유한 에너지 엔트로피 해로 수렴한다는 것이며, $1 < \gamma \leq 5/3$에 대해서는 단순화된 감소 기법을 통해 확장된다.

ABSTRACT

We establish the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations to the isentropic Euler equations for one-dimensional compressible fluid flow. For the Navier-Stokes equations, there exist no natural invariant regions for the equations with the real physical viscosity term so that the uniform sup-norm of solutions with respect to the physical viscosity coefficient may not be directly controllable and, furthermore, convex entropy-entropy flux pairs may not produce signed entropy dissipation measures. To overcome these difficulties, we first develop uniform energy-type estimates with respect to the viscosity coefficient for the solutions of the Navier-Stokes equations and establish the existence of measure-valued solutions of the isentropic Euler equations generated by the Navier-Stokes equations. Based on the uniform energy-type estimates and the features of the isentropic Euler equations, we establish that the entropy dissipation measures of the solutions of the Navier-Stokes equations for weak entropy-entropy flux pairs, generated by compactly supported $C^2$ test functions, are confined in a compact set in $H^{-1}$, which lead to the existence of measure-valued solutions that are confined by the Tartar-Murat commutator relation. A careful characterization of the unbounded support of the measure-valued solution confined by the commutator relation yields the reduction of the measure-valued solution to a Delta mass, which leads to the convergence of solutions of the Navier-Stokes equations to a finite-energy entropy solution of the isentropic Euler equations.

연구 동기 및 목표

• 실제 물리적 점성이 존재하는 압축성 유체 흐름에 대해 나비에-스토크스 방정식에서 등온성 유레르 방정식으로의 점성 계수를 0으로 줄이는 극한을 설정하는 것.
• 물리적 점성으로 인해 관측 가능한 영역이 없고 부호가 있는 엔트로피 소산이 존재하지 않는 문제를 극복하는 것.
• 타르타르-무라트 교환관계를 사용하여 측도값 해의 존재성을 증명하고, 이를 딜라르 델타 함수로 감소시키는 것.
• 일반적인 초기 자료 조건 하에서 나비에-스토크스 해가 유한 에너지 엔트로피 해로 수렴함을 보여주는 것.
• 이전 연구에 비해 $1 < \gamma \leq 5/3$에 대해 측도값 해의 감소 증명을 단순화하는 것.

제안 방법

• 점성 계수 $\varepsilon$에 대해 나비에-스토크스 해의 균일한 에너지형 추정을 개발하는 것.
• 유계로 지정된 $C^2$ 테스트 함수를 사용해 생성된 약한 엔트로피 소산 측도의 $H^{-1}$-컴팩턴스를 확립하는 것.
• 타르타르-무라트 교환관계를 사용해 지지가 유계가 아닐 수 있는 측도값 해를 제한하는 것.
• 대비 증명을 통해 측도값 해의 무한 지지 영역을 특성화하고, 이를 단일 딜라르 델타 함수로 감소시키는 것.
• 보완된 컴팩턴스와 약한 수렴 기법을 적용하여 유한 에너지 엔트로피 해로의 수렴을 증명하는 것.
• $1 < \gamma \leq 5/3$에 대해 엔트로피 소산과 테스트 함수 행동에 대한 추정을 정밀화하여 감소 증명을 단순화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 물리적 점성이 존재하는 압축성 흐름에서 나비에-스토크스 방정식의 점성 제거 극한을 엄밀히 설정할 수 있는가?
• RQ2 물리적 점성으로 인해 자연스러운 관측 가능한 영역이 존재하지 않을 경우, 나비에-스토크스 해에 대해 균일한 추정을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ3 나비에-스토크스 해의 엔트로피 소산 측도가 $H^{-1}$에서 컴팩트하게 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 나비에-스토크스 방정식에 의해 생성된 측도값 해가 위상공간 $(\rho, m)$에서 어떻게 딜라르 델타 함수로 감소할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 나비에-스토크스 해가 $\gamma \geq 3$ 및 $1 < \gamma \leq 5/3$일 때 유한 에너지 엔트로피 해로 수렴하는가?

주요 결과

• 저자들은 나비에-스토크스 방정식 해에 대해 점성 계수 $\varepsilon$에 대해 균일한 에너지 추정을 확립한다.
• 약한 엔트로피-엔트로피 플럭스 쌍에 대한 엔트로피 소산 측도는 $H^{-1}$에서 전컴팩트임을 보이며, 이는 측도값 해의 존재를 가능하게 한다.
• 타르타르-무라트 교환관계에 의해 측도값 해가 제한되며, $\gamma \geq 3$일 때 위상공간 $(\rho, m)$에서 딜라르 델타 함수로 감소함을 보여, 이는 유한 에너지 엔트로피 해로의 수렴을 의미한다.
• $1 < \gamma \leq 5/3$에 대해, 이전의 LeFloch-Westdickenberg [20]에 비해 감소 증명이 단순화되어 더 직접적인 추론을 제공한다.
• 주요 정리는 일반적인 초기 자료 조건 하에서 나비에-스토크스 해의 부분수열이 등온성 유레르 방정식의 유한 에너지 엔트로피 해로 수렴함을 확인한다.
• 결과는 실존하는 물리적 점성과 유한 에너지 초기 자료를 고려한 점성 제거 극한을 확장하여, 압축성 유체역학에서 오랫동안 남아있던 과제를 해결한다.