[논문 리뷰] Variable Martingale Hardy Spaces and Their Applications in Fourier Analysis

Yong Jiao, Ferenc Weisz외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 20.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 62인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 가чёт히 생성된 $\sigma$-대칭을 가진 확률 공간에서 변수 지수 마팅글레 하르디 공간 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 를 도입하며, 고전적인 로그- Hölder 연속성 조건을 대체하는 새로운 로그 유형 조건 하에서 그들의 원자 분해를 확립한다. 최대 피제르 연산자의 유계성을 증명하고, $p_- > 1/2$ 이고 $\frac{1}{p_-} - \frac{1}{p_+} < 1$ 일 때 월리스-푸리에 부분합의 노름 수렴과 거의 확실히 수렴하는 성질을 보이며, 고전 결과를 변수 지수 설정으로 확장한다. 이는 새로운 최대 연산자와 새로운 증명 방법을 포함한다.

ABSTRACT

Let $p(\cdot)$ be a measurable function defined on a probability space satisfying $01$. The boundedness of the maximal Fej{é}r operator on $H_{p(\cdot)}$ and $H_{p(\cdot),q}$ is proved whenever $p_-&gt;1/2$ and the condition $\frac{1}{p_-}-\frac{1}{p_+} &lt;1$ hold. It is surprising that this last condition does not appear for trigonometric Fourier series. One of the key points of the proof is that we introduce two new dyadic maximal operators and prove their boundedness on $L_{p(\cdot)}$ with $p_-&gt;1$. The method we use to prove these results is new even in the classical case. As a consequence, we obtain theorems about almost everywhere and norm convergence of the Fejér means.

연구 동기 및 목표

• 확률 공간에서 가чёт히 생성된 $\sigma$-대칭을 가진 변수 지수 마팅글레 하르디 공간 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 의 이론을 개발한다.
• 로그- Hölder 연속성 조건을 대체하는 새로운 적분 조건 하에서 이러한 공간의 원자 분해를 확립한다.
• 원자 분해를 이용하여 마팅글레 부등식과 다양한 하르디 공간 유형 간의 관계를 증명한다.
• 결과를 푸리에 해석에 적용하여, 특히 월리스-푸리에 급수와 피제르 평균에 대해 다룬다.
• 부분합과 피제르 평균에 대한 고전적 수렴 정리를 변수 지수 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 모든 원자 $A$ 에 대해 $\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$ 라는 새로운 조건을 도입하여, 로그- Hölder 연속성 조건을 일반화한다.
• 각 $\mathcal{F}_n$ 이 가чёт히 많은 원자들에 의해 생성될 때 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 공간의 원자 분해를 증명한다.
• 두 개의 새로운 이진 최대 연산자를 정의하고 분석하며, $p_- > 1$ 일 때 $L_{p(\bullet)}$ 에서의 유계성을 증명한다.
• 원자 분해와 최대 연산자 유계성을 이용하여 마팅글레 부등식과 하르디 공간 유형 간의 관계를 확립한다.
• 결과를 월리스-푸리에 급수에 적용하여, $p_- > 1$ 일 때 부분합 $\sigma_n f$ 가 노름 수렴함을 증명한다.
• 최대 피제르 연산자가 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 에서 $p_- > 1/2$ 이고 $\frac{1}{p_-} - \frac{1}{p_+} < 1$ 일 때 유계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 지수 마팅글레 하르디 공간 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 가 정의되고 원자 분해될 수 있는 $p(\cdot)$ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 새로운 조건 $\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$ 는 변수 지수 분석에서 고전적인 로그- Hölder 연속성 조건을 어떻게 일반화하거나 대체하는가?
• RQ3 월리스-푸리에 부분합 $\sigma_n f$ 가 $H_{p(\bullet),q}$ 에서 거의 확실히 수렴하고 노름 수렴하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 최대 피제르 연산자는 변수 지수 마팅글레 하르디 공간 설정에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 언제 유계인가?
• RQ5 새로운 이진 최대 연산자를 사용하여 변수 지수 레베그 공간과 하르디 공간에서의 유계성 결과를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 원자 $A$ 에 대해 $\mathbb{P}(A)^{p_-(A)-p_+(A)} \leq C_{p(\cdot)}$ 라는 새로운 조건 하에서 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 의 원자 분해가 확립되며, 이는 로그- Hölder 연속성 조건을 대체한다.
• 최대 피제르 연산자는 $p_- > 1/2$ 이고 $\frac{1}{p_-} - \frac{1}{p_+} < 1$ 일 때 $H_{p(\bullet)}$ 와 $H_{p(\bullet),q}$ 에서 유계이다.
• 만약 $f \in H_{p(\bullet),q}$ 이고 $p_- > 1$ 이면, 월리스-푸리에 급수의 부분합 $\sigma_n f$ 는 $L_{p(\bullet),q}$-노름에서 $f$ 로 수렴한다.
• $f \in H_{p(\bullet),q}$ 이고 $p_- > 1/2$ 이면, $[0,1)$ 상에서 거의 확실히 $\sigma_n f$ 가 수렴한다.
• $f \in H_{p(\bullet),q}$ 이고 $p_- > 1/2$ 이면, $L_{p(\bullet),q}$-노름에서 $\sigma_n f$ 가 $f$ 로 수렴한다.
• 새로운 이진 최대 연산자는 $p_- > 1$ 일 때 $L_{p(\bullet)}$ 에서 유계이며, 이 유계성은 주요 수렴 결과를 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.