[논문 리뷰] Variable Shift SDD: A More Succinct Sentential Decision Diagram

K. Nakamura, Shuhei Denzumi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Formal Methods in Verification참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 변수 치환 하에 동일한 부울 함수를 나타내는 하위구조를 공유함으로써 변수 대칭성을 활용하는 더 간결한 Sentential Decision Diagrams(SDDs)의 변종인 Variable Shift SDD(VS-SDD)를 제안한다. 절대적 ID가 아닌 ID 차이를 통해 변수 의존성을 인코딩함으로써, 대칭 부울 함수에서는 SDD 대비 지수적 크기 감소를 달성하면서도 Apply와 같은 핵심 연산에 대한 다항시간 지원을 유지한다.

ABSTRACT

The Sentential Decision Diagram (SDD) is a tractable representation of Boolean functions that subsumes the famous Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) as a strict subset. SDDs are attracting much attention because they are more succinct than OBDDs, as well as having canonical forms and supporting many useful queries and transformations such as model counting and Apply operation. In this paper, we propose a more succinct variant of SDD named Variable Shift SDD (VS-SDD). The key idea is to create a unique representation for Boolean functions that are equivalent under a specific variable substitution. We show that VS-SDDs are never larger than SDDs and there are cases in which the size of a VS-SDD is exponentially smaller than that of an SDD. Moreover, despite such succinctness, we show that numerous basic operations that are supported in polytime with SDD are also supported in polytime with VS-SDD. Experiments confirm that VS-SDDs are significantly more succinct than SDDs when applied to classical planning instances, where inherent symmetry exists.

연구 동기 및 목표

• SDD가 대칭 부울 함수를 효율적으로 표현하는 데에 한계가 있다는 문제를 해결하기 위해.
• 기본 SDD보다 더 간결한 표현을 가능하게 하는 변수 치환 동치성의 가능성을 탐색하기 위해.
• 새로운 표현 방식에서도 Apply 및 모델 수세기와 같은 기본 연산에 대한 다항시간 지원을 유지하기 위해.
• 대칭성 활용이 실제 계획 문제 및 조합 문제에서 상당한 크기 감소를 이끌어내는지 경험적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 절대적 ID 대신 상대적 ID 차이를 사용하여 변수 의존성을 표현하는 새로운 SDD 변종인 VS-SDD를 도입한다.
• 특정 변수 치환(예: 시간 단계 간 변수 교환) 하에서 동형인 부울 함수 간의 동치 관계를 정의한다.
• 구문적으로 동일하지 않지만 기능적으로 동일한 함수를 표현하는 하위그래프를 공유할 수 있도록 SDD의 정규 구조를 확장한다.
• 구성 과정에서 치환 동치 하위함수를 탐지하고 활용하기 위해 vtree 기반 컴파일 과정을 수정한다.
• 표준 SDD Apply 알고리즘을 확장하여 변수 이동 동치성을 처리함으로써 Apply 연산의 다항시간 복잡도를 유지한다.
• 성능 오버헤드 없이도 압축을 향상시키기 위해 대칭 인식 기반의 동적 vtree 탐색과 대칭-aware 노드 공유를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 치환 하에 동치인 부울 함수는 决정 다이어그램에서 공유될 수 있으며, 이로 인해 표준 SDD보다 더 간결한 표현이 가능할까?
• RQ2 제안된 VS-SDD 표현 방식은 SDD에서 발견된 Apply 및 모델 수세기와 같은 핵심 연산에 대해 여전히 다항시간 지원을 유지하는가?
• RQ3 특히 내재된 대칭성을 지닌 부울 함수의 어떤 클래스에서 VS-SDD는 SDD 대비 지수적 크기 감소를 달성하는가?
• RQ4 VS-SDD는 시간적 또는 구조적 대칭성을 지닌 실제 계획 및 조합 문제에서 어느 정도의 압축을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• VS-SDD는 항상 해당 SDD 등가물보다 크기가 크지 않으며, 일부 경우에서는 크기가 지수적으로 작아진다.
• 고전적 계획 인스턴스에서는 SDD 크기를 60%에서 80%까지 줄였으며, 비율은 60.0% (bomb-5-1_t3)와 61.0% (emptyroom-4_t5)까지 낮아졌다.
• N-queens 문제에서는 88.5% (10-Queens)와 94.3% (11-Queens)의 압축 비율을 기록하여 강력한 대칭성 활용을 입증했다.
• 격자 매칭 문제에서는 소폭의 압축(94.5%에서 98.8%)을 기록했으며, 이는 소수 및 하위 구조의 비대칭성 때문이었다.
• SDD에서 지원하는 Apply 연산 및 기타 다항시간 연산은 VS-SDD에서도 다항시간 내에 지원된다.
• 실험 결과 VS-SDD는 성능적 손해 없이 대칭 영역에서 상당한 크기 감소를 달성함을 확인했다.