[논문 리뷰] Variance of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with higher degree $L$-functions in $\mathbb{F}_q[t]$

Chris Hall, Jonathan P. Keating외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_q[t]$ 상의 고차수 $L$-함수와 관련된 산술 함수의 합의 분산을 산술적 등차수열에서 $q \to \infty$로 갈수록, 프로베니우스 공轭류의 등분포와 그로 인해 유도되는 행렬 적분을 이용해 계산한다. 주요 결과는 이러한 분산이 차수 1인 $L$-함수의 경우와 상당히 다름을 보이며, 일반화된 쌍상관 추측에 따라 수체 설정에서 예측된 표현과 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

We compute the variances of sums in arithmetic progressions of arithmetic functions associated with certain $L$-functions of degree two and higher in $\mathbb{F}_q[t]$, in the limit as $q o\infty$. This is achieved by establishing appropriate equidistribution results for the associated Frobenius conjugacy classes. The variances are thus related to matrix integrals, which may be evaluated. Our results differ significantly from those that hold in the case of degree-one $L$-functions (i.e. situations considered previously using this approach). They correspond to expressions found recently in the number field setting assuming a generalization of the pair-correlation conjecture. Our calculations apply, for example, to elliptic curves defined over $\mathbb{F}_q[t]$.

연구 동기 및 목표

• 고차수 $L$-함수와 관련된 산술 함수의 합이 $\mathbb{F}_q[t]$ 상의 산술 등차수열에서 분산을 계산하는 것.
• 이러한 $L$-함수와 연결된 프로베니우스 공轭류의 등분포 결과를 수립하는 것.
• 분산을 결정짓는 데 기여하는 최종 행렬 적분을 $q \to \infty$ 근처에서 평가하는 것.
• 수체 설정에서 알려진 추측, 특히 일반화된 쌍상관 예측과 결과를 비교하는 것.
• 타원곡선이 $\mathbb{F}_q[t]$ 상에 정의된 경우를 포함하여, 차수 1인 $L$-함수의 경우를 초월한 산술 합의 변동성을 이해하는 데 기여하는 것.

제안 방법

• 함수체 설정에서의 프로베니우스 공轭류 등분포 정리들을 활용하여 산술 함수의 통계적 행동을 모델링하는 것.
• 탄나키안 체계와 모노드로미 군 이론을 적용하여 $L$-함수와 관련된 층의 기하학적 및 산술적 구조를 분석하는 것.
• $\mathbb{G}_m$ 상의 층에 대해 Tannakian 군 $G_{\omega_{\mathbf{1}}|M}$ 내의 기하학적 프로베니우스 공轭류를 식별하는 것.
• 모노드로미 군에서 유도되는 행렬 적분을 계산하여 산술 등차수열에서의 합의 渐近 분산을 결정하는 것.
• 메린 변환과 중간 확장 층을 활용하여 $L$-함수 산술과 갈루아 표현, 프로베니우스 추적치 사이의 관계를 설정하는 것.
• $\ell$-adic 코hom올로지 프레임워크를 활용하여 층 표현의 혼합 무게 구조와 그 프로베니우스 고유값을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $q \to \infty$일 때 $\mathbb{F}_q[t]$ 상의 고차수 $L$-함수와 관련된 산술 함수의 합이 산술 등차수열에서 분산이 어떻게 행동하는가?
• RQ2 프로베니우스 공轭류의 등분포가 이러한 분산을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 쌍상관 추측 하에서, 수체 설정에서의 결과와 비교해 볼 때 이러한 행렬 적분은 어떻게 다른가?
• RQ4 차수 2 이상의 $L$-함수의 경우 분산은 차수 1의 경우와 어떤 방식으로 다를까?
• RQ5 $\mathbb{F}_q[t]$ 에서의 결과는 리만 제타 함수 및 그 $L$-함수 유사체에 대한 알려진 추측을 어느 정도 반영하거나 확장하는가?

주요 결과

• 고차수 $L$-함수에 대해 $\mathbb{F}_q[t]$ 상에서 산술 등차수열의 합의 분산은 관련 층의 모노드로미 군에서 유도된 행렬 적분에 의해 渐近적으로 결정된다.
• 이러한 분산 표현은 차수 1인 $L$-함수의 경우와 상당히 다름을 보이며, 이는 짧은 간격에서의 고전적 소수 정리와 관련된다.
• 계산된 분산은 일반화된 쌍상관 추측에 따라 수체 설정에서 예측된 결과와 일치하며, 특히 $\log X \leq h \leq X^{1/2}$ 범위에서 성립한다.
• 이 방법은 $\mathbb{F}_q[t]$ 상의 타원곡선과 관련된 산술 함수에 성공적으로 적용되며, 골드스타인-몬트고메리 분산 추측의 함수체 유사체를 제공한다.
• 관련된 $L$-함수와 연결된 프로베니우스 공轭류가 Tannakian 군 내에서 등분포함을 보여주며, 이는 불변론 이론을 통해 통계적 모멘트를 평가할 수 있게 한다.
• 결과는 $q \to \infty$의 극한에서 유효하며, 분산의 渐近 표현은 $X$, $c$, $\phi(c)$ 및 $\sum_{p|c} \frac{\log p}{p-1}$와 같은 산술 불변량으로 표현된다.