[논문 리뷰] Variants of the LLL Algorithm in Digital Communications: Complexity Analysis and Fixed-Complexity Implementation

Cong Ling, Wai Ho Mow외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 08.

Coding theory and cryptography참고 문헌 47인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 디지털 통신에서 복소수 랜드스케일에 대한 LLL 알고리즘의 변종을 제안하고 분석하며, 평균 복잡도 $O(n^3ackslash\log n)$를 갖는 효과적 LLL 감소와 두 가지 고정 복잡도 구현—고정 복잡도 효과적 LLL 및 깊은 삽입을 갖는 고정 복잡도 LLL—을 도입하여 하드웨어 우수한, 일정한 Throughput를 갖는 랜드스케일 디코딩을 가능하게 하며, 거의 최대 우도 성능을 달성한다.

ABSTRACT

The Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) algorithm is the most practical lattice reduction algorithm in digital communications. In this paper, several variants of the LLL algorithm with either lower theoretic complexity or fixed-complexity implementation are proposed and/or analyzed. Firstly, the $O(n^4\log n)$ theoretic average complexity of the standard LLL algorithm under the model of i.i.d. complex normal distribution is derived. Then, the use of effective LLL reduction for lattice decoding is presented, where size reduction is only performed for pairs of consecutive basis vectors. Its average complexity is shown to be $O(n^3\log n)$, which is an order lower than previously thought. To address the issue of variable complexity of standard LLL, two fixed-complexity approximations of LLL are proposed. One is fixed-complexity effective LLL, while the other is fixed-complexity LLL with deep insertion, which is closely related to the well known V-BLAST algorithm. Such fixed-complexity structures are much desirable in hardware implementation since they allow straightforward constant-throughput implementation.

연구 동기 및 목표

• 표준 LLL 알고리즘의 고도이고 변동성이 큰 계산 복잡도 문제를 해결하기 위해.
• 효과적 LLL 감소를 제안하여 디지털 통신에서 랜드스케일 감소의 이론적 복잡도를 감소시키기 위해.
• 고정 복잡도 근사치를 통해 랜드스케일 감소의 하드웨어 구현을 가능하게 하고 일정한 Throughput를 확보하기 위해.
• i.i.d. 복소수 정규 채널 모델 하에서 복소수 LLL의 평균 복잡도를 철저히 분석하기 위해.
• 복소수 기저를 실수 형태로 변환할 때 복소수 LLL와 실수 LLL의 성능과 근사 인자 비교를 위해.

제안 방법

• MIMO 채널에 대해 i.i.d. 복소수 정규 분포 하에서 표준 복소수 LLL의 평균 복잡도를 $O(n^4\log n)$로 유도한다.
• 연속된 기저 벡터 쌍에 대해서만 크기 조정을 수행하는 효과적 LLL 감소를 도입하여 복잡도를 $O(n^3\log n)$로 감소시킨다.
• 두 가지 고정 복잡도 변종—고정 복잡도 효과적 LLL 및 깊은 삽입을 갖는 고정 복잡도 LLL—을 제안하며, 이는 일정한 Throughput 하드웨어 설계를 가능하게 한다.
• 복소수 기저를 실수 형태로 변환하는 방식 $\mathcal{F}(\mathbf{B})$ 및 $\mathcal{F}'(\mathbf{B})$를 통해 복소수 LLL와 실수 LLL의 관계를 분석하고, 복소수 LLL 감소 기저가 그람-슈미트 직교화 하에서도 구조를 유지함을 보여준다.
• 만약 복소수 기저가 매개변수 $\delta$로 LLL 감소되어 있다면, 그 실수 대응 $\mathbf{B}_{\text{R}}$는 매개변수 $\delta - 1/4$로 LLL 감소되어 있음을 증명한다.
• 실수 LLL와 복소수 LLL의 근사 인자를 비교하여 $\alpha \geq \beta^2$임을 보이며, 여기서 $\alpha = 1/(\delta - 1/2)$ 이고 $\beta = 1/(\delta - 1/4)$ 이다. 이는 복소수 LLL가 $\delta = 3/4$가 아닐 경우 더 큰 근사 인자를 갖음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 복소수 정규 채널 모델 하에서 표준 복소수 LLL 알고리즘의 평균 복잡도는 얼마인가?
• RQ2 효과적 LLL 감소와 같은 더 약한 형태의 LLL 감소가 성능을 충분히 유지하면서도 복잡도를 크게 낮출 수 있는가?
• RQ3 MIMO 시스템에서 일정한 Throughput 하드웨어 구현을 가능하게 하기 위해 LLL의 고정 복잡도 근사치는 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 복소수 기저를 실수 형태로 변환할 때 복소수 LLL와 실수 LLL의 관계는 어떠하며, 이는 로바슈 조건과 감소 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 복소수 LLL와 실수 LLL의 근사 인자는 어떻게 비교되며, 고차원 시스템에서 디코딩 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• i.i.d. 복소수 정규 분포 하에서 표준 복소수 LLL 알고리즘의 평균 복잡도는 $O(n^4\log n)$이며, 이는 이 모델에 대해 처음으로 철저히 유도된 결과이다.
• 효과적 LLL 감소는 크기 조정 연산 수를 줄여 평균 복잡도를 $O(n^3\log n)$로 감소시켜 표준 LLL보다 한 단계 낮춘다.
• 고정 복잡도 효과적 LLL 및 고정 복잡도 LLL와 깊은 삽입을 갖는 변종이 제안되어 일정한 Throughput와 예측 가능한 지연 시간을 갖는 하드웨어 구현을 가능하게 한다.
• 복소수 기저가 매개변수 $\delta$로 LLL 감소되어 있다면, 그 실수 표현 $\mathbf{B}_{\text{R}}$는 매개변수 $\delta - 1/4$로 LLL 감소되어 있으며, 감소 품질이 유지된다.
• 복소수 LLL의 근사 인자는 $\delta = 3/4$가 아닐 경우 실수 LLL보다 점점 더 나쁘게 된다. 이는 $\alpha \geq \beta^2$ 이며, $\alpha = 1/(\delta - 1/2)$, $\beta = 1/(\delta - 1/4)$ 이기 때문이다.
• 더 큰 근사 인자에도 불구하고, 저차원에서는 복소수 LLL가 실수 LLL와 거의 동일한 성능을 보이며, 성능 차이가 $n \geq 10$에서야 두드러지게 드러난다.