[논문 리뷰] Variants on the Berz sublinearity theorem

Ν. H. Bingham, A. J. Ostaszewski|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 14.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 44인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전체 선택 공리(AC) 대신 종속 선택 공리(DC)만을 사용하여 베르츠의 부분선형성 정리의 변형을 제시하며, 실수 위에서 부분선형 함수가 선형인 조건을 확립한다. 동치 조건으로 동치 조건을 충족하는 밀도를 가진 덧셈부분군으로 제한된 동차성과 부분加법성 조건을 포함하는 '박히게'된(Thinned) 형태를 도입하며, 연속성과 유계성 조건이 선형성을 보장한다.

ABSTRACT

We consider variants on the classical Berz sublinearity theorem, using only DC, the Axiom of Dependent Choices, rather than AC, the Axiom of Choice which Berz used. We consider thinned versions, in which conditions are imposed on only part of the domain of the function -- results of quantifier-weakening type. There are connections with classical results on subadditivity. We close with a discussion of the extensive related literature.

연구 동기 및 목표

• 종속 선택 공리(DC)만을 사용하여 Hahn-Banach 확장 정리의 군론적 유사체를 구성함으로써 전체 선택 공리(AC)에 의존하지 않도록 하는 것.
• 베르츠의 부분선형성 조건에서 전칭 기호(모든 실수 x에 대해 N-동차성)를 밀도를 가진 덧셈부분군 A ⊆ ℝ로 약화시킬 수 있는지 조사하는 것.
• 밀도를 가진 부분군 A 위에서 부분加법성과 N-동차성을 만족하는 함수가 ℝ 위에서 선형인 함수로 어떻게 확장될 수 있는지 조건을 제공하는 것.
• 양자화된 조건 하에서 연속성과 국소 유계성이 선형성을 보장하는 데 기여하는 방식을 탐색하는 것.
• 이러한 결과를 공리적이고 위상수학적 방법을 통해 고전적 부분加법성, 정규 변화, 카인만 부분加법성 에르고딕 정리와 연결하는 것.

제안 방법

• S(0) = 0을 만족하는 부분加법성 함수가 0에서 연속이면, Goldie의 연속성 기준(정리 0)을 이용해 전 구간에서 연속임을 보임.
• Kingman의 Baire 카테고리 정리 기반 유계성 기준(정리 0+)을 적용하여, 약간의 정규성 조건 하에서 부분加법성 함수에 대해 선형 상한을 확립함.
• ℝ 위에서 정의된 함수 S에 대해 국소 유계성과 부분加법성 조건을 부여한 후, 0에서의 연속성이 ℝ₊와 ℝ₋ 위에서의 전반적 연속성과 선형성을 유도함.
• N-동차성의 정의역을 밀도를 가진 덧셈부분군 A ⊆ ℝ로 제한함으로써 '박히게'하는 방법을 도입함.
• S(t)/t의 점근적 분석을 0과 ∞ 근처에서 수행하여, N-동차성이 A 위에서 제한된 경우 선형성을 보장하는 필요 및 충분 조건을 도출함.
• 강력한 선택 공리 원리의 사용을 피하면서도 핵심 결과를 유지하기 위해, 확장 정리를 증명하는 데 DC를 사용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르츠의 부분선형성 정리를 전체 선택 공리(AC)가 아닌 종속 선택 공리(DC)만을 사용하여 증명할 수 있는가?
• RQ2 밀도를 가진 덧셈부분군 A ⊆ ℝ 위에서 부분加법성과 N-동차성을 만족하는 함수가 ℝ 위에서 선형인 함수로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 N-동차성의 전칭 기호를 모든 x ∈ ℝ에서 A에 속하는 x로 약화시킬 때, 여전히 선형성을 보장하기 위해 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 DC 하에서 고전적 부분加법성 정리들, 예를 들어 Hille-Phillips 및 Kolmogorov 정리와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 특히 분리 가능하거나 아메니타블 군 설정에서, 애드티브 함수에 대한 Hahn-Banach 유사 확장 정리를 종속 선택 공리(DC)만으로도 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 유계성을 만족하는 부분선형 함수 S: ℝ → ℝ는 종속 선택 공리(DC)만을 사용하여 전 구간에서 연속이며, ℝ₊와 ℝ₋ 위에서 선형임을 보장함.
• 정리 3는 선택 공리(AC)나 최대원리(PIT)에 의존하지 않고 Hahn-Banach 정리의 DC 기반 확장 버전을 확립함.
• S(0) = 0인 부분加법성 함수 S: ℝ → ℝ에 대해, 0에서의 연속성은 어떤 수열 zₙ ↗ 0에 대해 S(zₙ) → 0임과 동치임.
• N-동차성이 밀도를 가진 덧셈부분군 A ⊆ ℝ 위에서 제한되고 S가 국소 유계일 때, S가 ℝ 위에서 선형인 것은 S(t)/t의 점근적 비율이 0과 ∞에서 일치하는 것과 동치임.
• 이러한 결과는 노름을 가진 공간으로의 값의 일반화가 가능하며, S(x) = ||x||S(uₓ)를 만족하는 단위벡터 uₓ에 대해, x ≠ 0에 대해 S(uₓ)의 균일 유계성이 성립함.
• 논문은 Badura의 군론적 Hahn-Banach 결과의 분리 가능 케이스가 DC만으로 증명 가능할 수 있음을 보이며, 완비성의 역할은 여전히 열려 있음.