[논문 리뷰] Variation Evolving for Optimal Control Computation, a Compact Way

Sheng Zhang, Jiang-Tao Huang외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 06.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 32인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 최적 제어 계산을 위한 원시 변수 공간에서의 단순화된 변화 진화 방법(VEM)을 제안하며, 르아프노프 안정성 이론과 가상의 변화 시간을 활용하여 점점 최적 해로 수렴하는 진동 편미분방정식(EPDE)을 유도한다. 이 방법은 비용 상태를 사용하지 않고도 등가 최적 조건을 수립함으로써, 유한 차분화된 초기값 문제로의 수치적 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A compact version of the variation evolving method (VEM) is developed in the primal variable space for optimal control computation. Following the idea that originates from the Lyapunov continuous-time dynamics stability theory in the control field, the optimal solution is analogized to the stable equilibrium point of a dynamic system and obtained asymptotically through the variation motion. With the introduction of a virtual dimension, namely the variation time, the evolution partial differential equation (EPDE), which seeks the optimal solution with a theoretical guarantee, is developed for the optimal control problem (OCP) with free terminal states, and the equivalent optimality conditions with no employment of costates are established in the primal space. These conditions show that the optimal feedback control law is generally not analytically available because the optimal control is related to the future states. Since the derived EPDE is suitable to be computed with the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the optimal solution may be obtained by solving the resulting finite-dimensional initial-value problem (IVP).

연구 동기 및 목표

• 최적 제어 문제를 위한 단순화되고 원시 공간 기반의 변화 진화 방법(VEM)을 개발하는 것.
• 비용 상태 변수를 제거하기 위해 최적 조건을 직접 원시 공간에서 유도하는 것.
• 르아프노프 안정성 개념을 활용하여 최적 해로의 수렴에 대한 이론적 기반을 마련하는 것.
• 진동 편미분방정식(EPDE)을 유한 차분화하여 초깃값 문제로 변환함으로써 수치 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 최적성 향상을 모델링하기 위해 '변화 시간'이라는 가상 차원을 도입한다.
• 최적 제어 해로 향하는 변화의 역학을 지배하는 진동 편미분방정식(EPDE)을 유도한다.
• 르아프노프 안정성 이론에 기반하여 비용 상태를 사용하지 않고 원시 공간에서 등가 최적 조건을 수립한다.
• EPDE에 유한 차분화 수치 방법을 적용하여, 이를 유한 차원의 초깃값 문제(IVP)로 변환한다.
• 동적 시스템의 점근적 안정성을 활용하여 최적 해로의 수렴을 보장한다.
• 자유 종단 상태를 가진 최적 제어 문제에 대해 접근법을 검증함으로써 이론적 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 상태 변수에 의존하지 않고 최적 제어 계산을 위한 단순화된 원시 공간 기반의 VEM을 개발할 수 있는가?
• RQ2 르아프노프 안정성 이론을 어떻게 활용하여 변화 공간에서 최적 해로의 점근적 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 자유 종단 상태 최적 제어 문제에서 최적성 향상의 역학을 지배하는 진동 편미분방정식(EPDE)의 구조는 어떠한가?
• RQ4 EPDE는 어떻게 효율적으로 이산화하고 수치적으로 초깃값 문제로 해결할 수 있는가?
• RQ5 비용 상태 전파를 명시적으로 요구하지 않는 원시 공간에서의 이론적 최적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 EPDE는 변화 시간 기반의 안정된 시스템으로서의 변화 역학을 모델링함으로써 최적 해로의 점근적 수렴을 보장한다.
• 비용 상태 변수를 요구하지 않고 원시 공간에서 최적 조건을 직접 유도함으로써 계산 프레임워크를 단순화한다.
• 일般적으로 미래 상태에 의존하기 때문에 해석적으로 구할 수 없는 최적 제어 법칙으로의 수렴을 보장한다.
• EPDE의 유한 차분화는 표준 상미분방정식(OED) 해법기를 사용해 수치적으로 해결할 수 있는 유한 차원의 초깃값 문제(IVP)로 변환된다.
• 자유 종단 상태를 가진 최적 제어 문제에 적용 가능하여 광범위한 문제 유형으로의 적용 가능성을 확장한다.
• 기존의 PDE 및 ODE 수치 기법을 활용하여 이론적 강건성과 계산 가능성 모두를 입증한다.