[논문 리뷰] Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization

Geir Ellingsrud, Lothar Göttsche|ArXiv.org|1994. 10. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 대수적 표면 위의 계수 2의 토퍼션 자유 층의 모듈리 공간이 극화의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 연구하며, 벽을 횡단할 때 매끄러운 블로우업과 블로우다운의 사슬이 프로젝티브 범주 위의 점들의 힐베르트 스킴의 곱 위에서 발생함을 보여준다. 주요 기여는 p_g = q = 0인 표면에 대해 도널드슨 불변량의 변화를 힐베르트 스킴 위의 코homology 클래스로 명시적으로 계산한 것으로, Kotschick와 Morgan의 추측에서 가장 낮은 여섯 항에 대해 세 개의 영항이 존재한다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

The paper determines the change of moduli spaces of rank $2$ sheaves on surfaces with $p_g=0$ under change of polarization and the corresponding change of the Donaldson invariants. In this revised version we have made some minor stylistic changes in the previous text. In addition we have added a final chapter of about 20 pages (announced in the previous version), in which the six lowest order terms (three of them non-zero) of the change are computed explicitely using computations in the cohomology of Hilbert schemes of points.

연구 동기 및 목표

• 표면 S의 희미한 콘 내에서 벽을 횡단할 때 계수 2 층의 모듈리 공간이 어떻게 변화하는지 이해하는 것.
• 특정 '좋은' 벽을 횡단할 때 모듈리 공간의 기하학적 변환을 블로우업과 블로우다운의 사슬으로 묘사하는 것.
• p_g = q = 0인 표면에서 극화 변화에 따른 도널드슨 불변량의 변화를 계산하는 것.
• Kotschick와 Morgan의 도널드슨 불변량 변화의 구조에 대한 추측을 검증하는 것, 특히 가장 낮은 차수의 항 중 세 개가 영이 되는 예측을 확인하는 것.

제안 방법

• 유니버설 층의 기본 변환을 사용하여, 모리의 최소 모델 프로그램과 유사한 플립의 사슬으로서의 벽 횡단을 묘사한다.
• 표면 위의 점들의 힐베르트 스킴의 곱 위의 프로젝티브 범주에 沿해 매끄러운 블로우업으로서 모듈리 공간의 변화를 모델링한다.
• 자연스러운 클래스로 도널드슨 불변량의 변화를 표현하기 위해 점들의 힐베르트 스킴 위의 코homological 계산을 적용한다.
• 대칭 제품 코homology와 등급화된 적분 기법을 사용하여 S^d 위의 교차 수를 계산한다.
• 재귀 공식과 대칭 함수를 사용하여 도널드슨 불변량의 변화에 대한 다항식 표현을 유도하며, 특정 단항식들 모odulo에 대해 유도한다.
• 가장 낮은 여섯 항을 명시적으로 계산하여 Kotschick-Morgan 추측과의 호환성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 S의 희미한 콘 내에서 극화 H가 벽을 횡단할 때 모듈리 공간 M_H(c1,c2)는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 두 벽 사이의 모듈리 공간 간의 기하학적 변환의 성격은 무엇이며, 이를 블로우업과 블로우다운으로 묘사할 수 있는가?
• RQ3 극화 변화에 따라 도널드슨 불변량은 어떻게 변화하며, p_g = q = 0인 표면에 대해 이 변화를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 도널드슨 불변량 변화의 여섯 가장 낮은 차수 항이 Kotschick와 Morgan의 추측과 일치하는가, 특히 이 중 세 개가 영이 되는 예측이 맞는가?
• RQ5 불변량의 변화를 S 위의 점들의 힐베르트 스킴 위의 코homology 클래스로 순수하게 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 벽 횡단에 따른 모듈리 공간의 변환은 점들의 힐베르트 스킴의 곱 위의 프로젝티브 범주에 따라 매끄러운 블로우업을 거쳐, 그 다음 매끄러운 블로우다운으로 이루어진다.
• K3 또는 아벨 표면의 경우 변화는 심플렉틱 다양체의 기본 변환으로서 유지되며, 심플렉틱 구조를 보존한다.
• 도널드슨 불변량의 변화는 S 위의 점들의 힐베르트 스킴 위의 자연스러운 코homology 클래스로 명시적으로 계산된다.
• 도널드슨 불변량 변화의 여섯 가장 낮은 차수 항이 계산되었으며, 그 중 세 개가 영임을 확인하여 Kotschick-Morgan 추측을 확인한다.
• 결과는 추측된 공식과 호환되며, 특히 다항식에서 차수 2, 4, 6 항이 0이 된다는 예측이 맞다는 것을 확인한다.
• 계산은 대칭 제품 코homology와 S^d 위의 교차 이론에 기반하며, 등급화된 적분과 대칭 함수 항등식을 사용하여 핵심 항등식을 유도한다.