[논문 리뷰] Variation of Periods Modulo p in Arithmetic Dynamics

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 수체수체의 사영적 다양체 위에서 모르피즘 $ \varphi $에 대해 무한 궤도를 가진 점 $ P $에 대해, 대부분의 소수 $ \mathfrak{p} $ 에서의 궤도 크기가 $ (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 증가함을 증명한다. 높이 추정과 해석적 밀도 추론을 사용하여, 거의 모든 소수에서 궤도 크기가 $ \log p $ 와 거의 같은 크기임을 보이며, 기하학적 하한값보다 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Let F : V --> V be a self-morphism of a quasiprojective variety defined over a number field K and let P be a point in V(K) with infinite orbit under iteration of F. For each prime ideal p of good reduction, let m_p(F,P) be the size of the F-orbit of the reduction of P modulo p. Fix any e > 0. We show that for almost all primes p, in the sense of analytic density, the orbit size m_p(F,P) is larger than (log(N(p)))^(1-e), where N(p) is the norm of the ideal p.

연구 동기 및 목표

• 무한한 전방 궤도를 가진 점에 대해, 모듈로 소수에서 궤도 크기의 분포를 이해하는 것.
• 해석적 밀도를 사용하여 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $, 즉 $ \varphi $-궤도의 모듈로 $ \mathfrak{p} $ 의 크기에 대한 기하학적 하한값을 향상시키는 것.
• praticularly, 거의 모든 소수 $ \mathfrak{p} $ 에 대해 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) > (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ 를 증명하는 것. 이는 이전의 결과보다 지수적으로 개선된 것이다.
• 소수 모듈로에서의 곱셈적 순서에 대한 결과의 동역학적 유사체를 제공하고, 일반적인 산술 동역학으로 확장하는 것.
• 수치 실험을 바탕으로 궤도 크기가 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $ 와 같은 속도로 증가할 것이라 추측하는 것. 이는 랜덤 맵 행동과 일치한다.

제안 방법

• 합리적 사상에 대한 높이 추정(정리 4)을 사용하여, 궤도 크기를 $ P $ 의 산술적 성질과 연결함으로써, 모듈로 $ \mathfrak{p} $ 에서의 궤도 크기를 유계화한다.
• 산술적 거리에 대한 높이 추정(정리 6)을 적용하여, 궤도 크기의 증가를 소수의 노름 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 에 따라 통제한다.
• 핵심 동치관계를 확립: $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \leq m $ 이고 오직 그 때에만 $ \mathfrak{p} \mid D(m) $ 이며, 여기서 $ D(m) $ 은 $ \log\log D(m) \ll m $ 를 만족하는 정수이다.
• 해석적 부등식을 유도(정리 11): $ s > 0 $ 에 대해 $ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $ 이며, 이는 작은 궤도 크기의 밀도를 통제한다.
• 해석적 밀도 $ \boldsymbol{\delta} $ 를 사용하여, $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ 가 큰 소수의 비율을 정량화하며, $ \gamma < 1 $ 이면 $ m_{\mathfrak{p}} \geq (\log p)^\gamma $ 인 경우에 밀도가 1임을 보인다.
• 이차 다항식 $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ 에 대한 수치 실험을 통해, $ m_{\mathfrak{p}} \approx \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $ 라는 추측을 검증하며, $ \sqrt{p} $ 보다 略로 느리게 증가하는 경향을 관찰한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 $ \varphi $-궤도를 가진 점 $ P $ 에 대해, 소수 $ \mathfrak{p} $ 모듈로 궤도 크기 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ 는 얼마나 큰가?
• RQ2 거의 모든 소수 $ \mathfrak{p} $ 에 대해 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ 가 $ (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{1-\epsilon} $ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 크다는 것을 증명할 수 있는가?
• RQ3 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 를 만족하는 소수의 해석적 밀도가 $ 1 - C\epsilon $ 이하로 유계임을 증명할 수 있는가?
• RQ4 모듈로 $ \mathfrak{p} $ 의 궤도 크기가 랜덤 맵의 예상과 같이 $ \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} $ 의 속도로 증가하는가?
• RQ5 관측된 궤도 크기와 랜덤 맵 히ュ리스틱 $ \sim \sqrt{\#\mathbb{P}^N(\mathbb{F}_{\mathfrak{p}})} $ 사이의 불일치를 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ \gamma < 1 $ 에 대해, $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^\gamma $ 를 만족하는 소수 $ \mathfrak{p} $ 의 집합은 해석적 밀도 1을 가진다.
• 모든 $ \epsilon > 0 $ 에 대해, $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \epsilon \log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} $ 를 만족하는 소수의 하부 해석적 밀도는 $ 1 - C\epsilon $ 이상이며, 여기서 $ C $ 는 $ N, \varphi, P $ 에 의존한다.
• 궤도 크기 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) $ 는 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \leq m $ 이고 오직 그 때에만 $ \mathfrak{p} \mid D(m) $ 이며, 여기서 $ D(m) $ 은 $ \log\log D(m) \ll m $ 를 만족하는 정수이다.
• 해석적 부등식이 확립되었다: 모든 $ s > 0 $ 에 대해 $ \sum_{\mathfrak{p}} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \cdot e^{s m_{\mathfrak{p}}^{\lambda}}} \leq \frac{C}{s^{1/\lambda}} $ 이며, 이는 작은 궤도의 밀도를 통제한다.
• $ \varphi_c(z) = z^2 + c $ 에 대한 수치 실험은 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi_c, \alpha) $ 가 $ \sqrt{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}} $ 보다 略로 느리게 증가함을 시사하며, 합 $ \frac{1}{\log X} \sum_{\mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p} \leq X} \frac{\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}}{m_{\mathfrak{p}}^2} $ 는 $ X $ 에 따라 증가함을 관찰한다.
• 논문은 $ m_{\mathfrak{p}}(\varphi,P) \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2 - \epsilon} $ 인 소수의 집합이 밀도 1을 가진다고 추측하며, $ m_{\mathfrak{p}} \geq \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p}^{N/2} (\log \mathsf{N}_{K/\mathbb{Q}}\mathfrak{p})^{-\kappa} $ 가 어떤 $ \kappa > 0 $ 에 대해 성립하는지 여부를 제기한다.