[논문 리뷰] Variational analysis of the discontinuous Galerkin time-stepping method for parabolic equations

Norikazu Saito|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 29.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서의 추상적 진화방정식을 사용하여 포아송 방정식에 대한 비연속 갈레르킨(dG) 시간 스텝 방법의 새로운 변분 분석을 제시한다. 이는 이산 인프-서프 조건을 확립하고 변분 공식을 활용하여, dG 방법과 그 유한요소 시간-공간 근사에 대해 거의 최적의 근사 성질과 최적 순서 오차 추정치를 도출한다. 이는 변수 계수를 가진 문제와 임의의 다항식 차수에 대해 분석을 단순화한다.

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) time-stepping method applied to abstract evolution equation of parabolic type is studied using a variational approach. We establish the inf-sup condition or Babuška--Brezzi condition for the DG bilinear form. Then, a nearly best approximation property and a nearly symmetric error estimate are obtained as corollaries. Moreover, the optimal order error estimates under appropriate regularity assumption on the solution are derived as direct applications of the standard interpolation error estimates. Our method of analysis is new for the DG time-stepping method; it differs from previous works by which the method is formulated as the one-step method. We apply our abstract results to the finite element approximation of a second order parabolic equation with space-time variable coefficient functions in a polyhedral domain, and derive the optimal order error estimates in several norms.

연구 동기 및 목표

• 추상적 포아송 진화방정식에 대한 비연속 갈레르킨(dG) 시간 스텝 방법을 분석하기 위한 새로운 변분 접근법을 개발한다.
• dG 이차형식에 대한 이산 인프-서프 조건을 확립하여 안정적인 오차 분석을 가능하게 한다.
• 이산 인프-서프 조건의 결과로 거의 최적의 근사 및 거의 대칭 오차 추정치를 유도한다.
• 공간-시간 변수 계수를 가진 2차 포아송 방정식의 유한요소 근사를 위해 추상 결과를 적용한다.
• 기본적인 정규성 조건 하에서 여러 노름에서 최적 순서 오차 추정치를 확보한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 강제성과 유계성 연산자를 가진 힐버트 트리플릿 $V \subset H \subset V'$ 내에서 포아송 문제를 추상적 진화방정식으로 공식화한다.
• dG$(q)$ 방법을 시간에 대해 차수 $q$의 조각별 다항식을 사용한 공간-시간에서의 갈레르킨 근사로 정의한다.
• 시간 분할에 따라 달라지는 특수한 DG 노름을 도입하여 이산 인프-서프 조건을 분석한다.
• 이중성 원리와 이산 시험 및 시도 공간에서의 노름 등가성을 이용하여 이산 인프-서프 조건을 증명한다.
• 연속 및 이산 인프-서프 조건을 적용하여 거의 최적의 근사 및 대칭 오차 추정치를 도출한다.
• 기본적인 보간 오차 추정치와 추상 오차 프레임워크를 사용하여 $L^2(J;H)$, $H^1(J;H^{-1})$, $L^2(J;V)$ 노름에서 최적 순서 오차 경계를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변수 계수를 가진 문제에 대해 기존의 단일 단계 공식화를 피하는 변분 프레임워크를 통해 dG$(q)$ 방법을 분석할 수 있는가?
• RQ2 dG$(q)$ 방법의 안정성과 수렴성을 보장하는 데 있어 이산 인프-서프 조건의 역할은 무엇인가?
• RQ3 추상적 설정에서 인프-서프 조건으로부터 거의 최적의 근사 및 대칭 오차 추정치는 어떻게 도출되는가?
• RQ4 공간-시간 변수 계수를 가진 2차 포아송 방정식에 적용했을 때 dG$(q)$ 유한요소 방법의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 추상적 변분 프레임워크를 확장하여 $L^2(J;H)$ 및 $H^1(J;H^{-1})$ 노름을 포함한 여러 노름에서 오차 추정치를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• dG 이차형식에 대한 이산 인프-서프 조건이 확립되었으며, 이는 안정성과 수렴성 증명에 핵심적인 기초가 된다.
• 이산 인프-서프 조건의 직접 결과로 거의 최적의 근사 및 거의 대칭 오차 추정치가 도출된다.
• 적절한 정규성 조건 하에서 $L^2(J;H)$ 및 $H^1(J;H^{-1})$ 노름에서 순서 $O(h^k + \tau^{q+1})$의 최적 순서 오차 추정치를 확보한다.
• 유한요소 근사에서 $L^2(J;V)$ 노름에서도 순서 $O(h^k + \tau^{q+1})$의 최적 수렴을 달성한다.
• 변수 계수 문제와 임의의 $q$에 대해 분석이 크게 단순화되며, 이는 단일 단계 공식화의 복잡성을 피하기 때문이다.
• 다각형 영역에서 공간-시간 변수 계수를 가진 2차 포아송 방정식에 적용하여 프레임워크의 타당성을 검증하였다.