[논문 리뷰] Variational-Correlations Approach to Quantum Many-body Problems

Arbel Haim, Richard Kueng외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 17.

Advanced Chemical Physics Studies인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 다체계의 기본 상태를 근사하기 위해 상관 함수를 변분 매개변수로 다루는 Variational-Correlations (VC) 방법을 소개한다. 시스템 크기와 선형 스케일링하는 상관 행렬을 통해 밀도 행렬의 양성 조건을 순차적으로 강제함으로써, 이 방법은 기본 상태 에너지의 하한을 제공하고, 일차원 스핀-1/2 모델에서 장거리 상관관계와 수렴하는 에너지 추정치를 성공적으로 포착한다.

ABSTRACT

We investigate an approach for studying the ground state of a quantum many-body Hamiltonian that is based on treating the correlation functions as variational parameters. In this approach, the challenge set by the exponentially-large Hilbert space is circumvented by approximating the positivity of the density matrix, order-by-order, in a way that keeps track of a limited set of correlation functions. In particular, the density-matrix description is replaced by a correlation matrix whose dimension is kept linear in system size, to all orders of the approximation. Unlike the conventional variational principle which provides an upper bound on the ground-state energy, in this approach one obtains a lower bound instead. By treating several one-dimensional spin $1/2$ Hamiltonians, we demonstrate the ability of this approach to produce long-range correlations, and a ground-state energy that converges to the exact result. Possible extensions, including to higher-excited states are discussed.

연구 동기 및 목표

• 전체 양자 다체파동함수의 지수적 복잡성을 줄이기 위해, 변분 매개변수로 제한된 수의 상관 함수에 초점을 맞추기.
• 힐베르트 공간의 폭발을 피하기 위해, 시스템 크기와 선형 척도를 갖는 상관 행렬을 통해 밀도 행렬의 양성 조건을 근사화하기.
• 기존의 변분 방법이 상한을 제공하는 데 반해, 기본 상태 에너지에 대한 하한을 제공하기.
• 상관 제약 조건을 순차적으로 근사화함으로써, 대규모 시스템, 비이동 대칭성 및 불순물 모델을 포함한 효율적인 계산을 가능하게 하기.
• 일차원 스핀-1/2 사슬에서 정확한 기본 상태 에너지로의 수렴성과 정확한 장거리 스핀 상관관계 포착을 입증하기.

제안 방법

• 이 방법은 전체 밀도 행렬을 국소 연산자의 기대값으로 구성된 상관 행렬로 대체하며, 이 행렬의 요소는 시스템 크기와 선형 스케일링된다.
• 일부 k-국소 연산자에 대해 특정 상관 행렬이 양의 준정부호가 되도록 요구함으로써, 밀도 행렬의 근사적 양성 조건을 강제한다.
• 에너지 최소화 문제는 반정적 프로그래밍(SDP)으로 공식화되며, 目적 함수는 해밀토니안의 기대값이다.
• 상관 행렬은 두점 이상의 상관 함수로부터 구성되며, 파울리 행렬을 포함한 연산자 대수적 항등식으로부터 유도된 제약 조건이 적용된다.
• 이 접근법은 CVX와 MOSEK를 통해 구현된 내점법 알고리즘을 사용하여 SDP를 수치적으로 해결한다.
• 수치적 구현에서 이동 대칭성을 활용하여 독립 매개변수의 수를 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관 함수에만 기반한 변분 접근법이 양자 다체계의 기본 상태 에너지에 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ2 전체 파동함수를 저장하지 않고도, 이러한 방법이 장거리 양자 상관관계를 얼마나 잘 포착할 수 있는가?
• RQ3 더 많은 상관 함수를 근사에 포함시킬수록, 방법이 정확한 기본 상태 에너지로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 비이동 대칭성 또는 불순물이 있는 시스템에 대해서도 이 방법을 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 밀도 행렬의 근사적 양성 조건을 강제하기 위해 선택한 k-국소 연산자 부분집합의 영향은 무엇인가?

주요 결과

• VC 접근법은 높은 차수의 상관관계를 포함할수록 정확한 값에 수렴하는 기본 상태 에너지의 하한을 성공적으로 생성한다.
• 일차원 스핀-1/2 사슬에서는, 불순물이 있는 시스템에서도 장거리 스핀 상관관계를 정확히 포착한다.
• 횡방향 자기장 이징 사슬과 XXZ 사슬과 같은 모델에 대한 수치 결과는, 근사 차수를 높일수록 정확한 기본 상태 에너지로 단조롭게 수렴하는 에너지 추정치를 보여준다.
• 상관 행렬 형식은 시스템 크기와 선형 스케일링하므로, 정확한 대각화가 불가능한 대규모 시스템의 효율적 처리가 가능하다.
• 이동 대칭성이 없는 경우에도 방법이 강건함을, 불순물 해밀토니안의 수치적 해결을 통해 입증하였다.
• 반정적 프로그래밍의 사용은 고차수 상관 제약 조건을 포함함으로써 근사의 체계적 향상을 가능하게 한다.