[논문 리뷰] Variational Geometric Approach to Generalized Differential and Fenchel Conjugate Calculi in Convex Analysis

Boris S. Mordukhovich, Nguyen Mau Nam외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 28.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록한 위상 공간과 바나흐 공간에서의 일반화된 미분 및 펜클 쌍대성 미분 계산에 대해 변분 기하학적 접근을 제안한다. 이는 국소적으로 볼록한 위상 공간과 바나흐 공간에서의 정밀한 볼록 극값 원리에 기반하며, 하위기울기, 쌍대성, 코도레비티브에 대한 새로운 통합 계산 규칙을 최소한의 가정 하에 수립한다. 이는 특히 최적값 함수와 볼록-그래프 다중함수에 대해 고전적인 결과들을 단순화하고 일반화한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

This paper develops a geometric approach of variational analysis for the case of convex objects considered in locally convex topological spaces and also in Banach space settings. Besides deriving in this way new results of convex calculus, we present an overview of some known achievements with their unified and simplified proofs based on the developed geometric variational schemes.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간과 바나흐 공간에서의 변분 해석학에 기하학적 프레임워크를 개발한다.
• 볼록 함수와 다중값 함수에 대해 펜클 쌍대성, 하위기울기, 코도레비티브에 대한 새로운 통합 계산 규칙을 도출한다.
• 볼록 극값 원리에 기반한 변분 기하학적 접근을 통해 기존 볼록 해석학 결과를 일반화하고 단순화한다.
• 최소한의 위상적 가정 하에 최적값 함수와 볼록-그래프 다중함수에 대해 정밀한 코도레비티브 계산 규칙을 수립한다.

제안 방법

• 국소적으로 볼록한 위상 벡터(LCTV) 공간에서의 정밀한 볼록 극값 원리를 활용하여 지지함수와 정규점근의 교차 규칙을 유도한다.
• 기하학적 정규점근 교차 규칙을 적용하여 LCTV 공간과 바나흐 공간에서 볼록 함수의 펜클 쌍대성에 대한 계산을 개발한다.
• 바나흐 공간에서 닫힘 조건 하에 Attouch-Brézis 기법을 적용하여 쌍대 함수를 분석한다.
• 伝통적인 분석적 방법을 피하는 기하학적 추론을 통해 하위기울기의 새로운 합 규칙과 연쇄 규칙을 도출한다.
• 정규점근 분해를 활용하여 코도레비티브 교차 규칙을 볼록-그래프 다중함수에 적용한다.
• 합성 사상의 그래프의 정규점근을 통한 코도레비티브 표현을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적값 함수의 펜클 쌍대성은 볼록 해석학의 변분 기하 원리에 의해 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 다중값 사상의 합성 사상의 코도레비티브가 합성 사상의 그래프의 정규점근을 통해 표현되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 국소적으로 볼록 공간에서 기하학적 접근을 통해 볼록 함수들의 최대값의 하위미분은 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ4 완비성 또는 닫힘 조건 없이 LCTV 공간에서 정규점근과 지지함수에 대한 정밀한 교차 규칙은 무엇인가?
• RQ5 최소한의 위상 조건 하에 두 볼록-그래프 다중함수의 교차의 코도레비티브는 어떻게 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 볼록 극값 원리에 기반하여 임의의 국소적으로 볼록한 위상 공간에서 정밀한 지지함수 및 정규점근 교차 규칙이 수립되었으며, 완비성 또는 닫힘 조건이 필요하지 않다.
• 최적값 함수의 펜클 쌍대성은 기하학적 정규점근 계산을 통해 계산되었으며, 일반적인 볼록 설정에서 새로운 표현을 제공한다.
• 다중값 사상의 합성에 대해 새로운 코도레비티브 연쇄 규칙이 도출되었으며, 합성 사상의 코도레비티브가 합성 사상의 그래프의 정규점근을 통해 표현됨을 보여준다.
• 두 볼록-그래프 다중함수의 교차의 코도레비티브는 두 가지 별개의 제약 조건 하에 코도레비티브의 합으로 특징지워진다: 그래프의 교차 내부성 또는 바나흐 공간에서의 차집합의 닫힘성.
• 기하학적 변분 기법을 사용하여 하위기울기의 합 규칙과 연쇄 규칙을 포함한 볼록 해석학의 주요 결과들에 대해 단순화되고 통합된 증명을 제공한다.
• 기존 결과 [16]을 확장하여 아스플룬드 공간 가정을 제거하고 일반적인 LCTV 공간을 허용하면서도 강력한 계산 규칙을 유지한다.