[논문 리뷰] Variational Hamiltonian Diagonalization for Dynamical Quantum Simulation

Benjamin Commeau, M. Cerezo외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 50

한 줄 요약

Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD)를 도입하여 해밀토니안을 근사 대각화하는 하이브리드 양자-클래식 방법으로, 고정 깊이의 회로와 Trotter 오차 없이 빠르게 진행되는 양자 역학을 가능하게 한다. XY 모델에서의 작동적 의미와 학습 가능성을 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

Dynamical quantum simulation may be one of the first applications to see quantum advantage. However, the circuit depth of standard Trotterization methods can rapidly exceed the coherence time of noisy quantum computers. This has led to recent proposals for variational approaches to dynamical simulation. In this work, we aim to make variational dynamical simulation even more practical and near-term. We propose a new algorithm called Variational Hamiltonian Diagonalization (VHD), which approximately transforms a given Hamiltonian into a diagonal form that can be easily exponentiated. VHD allows for fast forwarding, i.e., simulation beyond the coherence time of the quantum computer with a fixed-depth quantum circuit. It also removes Trotterization error and allows simulation of the entire Hilbert space. We prove an operational meaning for the VHD cost function in terms of the average simulation fidelity. Moreover, we prove that the VHD cost function does not exhibit a shallow-depth barren plateau, i.e., its gradient does not vanish exponentially. Our proof relies on locality of the Hamiltonian, and hence we connect locality to trainability. Our numerical simulations verify that VHD can be used for fast-forwarding dynamics.

연구 동기 및 목표

• 단기간 양자 다이나믹스 시뮬레이션을 위한 회로 깊이를 줄이고 Trotter 오차를 제거하는 것을 동기로 삼는다.
• 전체 해밀토니안을 대각화하는 변분 스킴을 개발하여 시간 진화를 효율적으로 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• 의미 있는 충실도 경계와 함께 운용 가능한 비용 함수를 제공하고, 국소성 가정하에서 얕은 배런 플래토의 부재를 증명한다.
• VHD가 코히런스 시간 너머의 빠르게 진행된 다이나믹스를 가능하게 함을 수치 실험으로 보인다.
• Variational Fast Forwarding (VFF)로의 사전 학습이 자원 요구를 추가로 줄일 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 해 H̃(θ,γ)=W(θ)D(γ)W†(θ) 가 H를 대략적으로 대각화하도록 제안한다.
• W(θ)를 위한 하드웨어 효율적이고 층층의 회로와 Z^k 항으로 구성된 로컬하고 다루기 쉬운 D(γ)를 사용한다.
• 비용 C_VHD(θ,γ)=||H−H̃(θ,γ)||_HS^2/d 와 학습을 안내하기 위한 정규화된 버전을 정의한다.
• 비용 항 c_pqk(θ)=Tr(σ^pq WZ^k W†)/d 를 Hadamard-test 회로를 통해 평가하고 그래디언트를 계산한다.
• 원하는 충실도에 기반한 종료 조건이 충족될 때까지 (θ,γ)를 하이브리드 양자-고전 루프에서 반복적으로 최적화한다.
• 선택적으로 Variational Fast Forwarding (VFF)로 사전 학습하여 θ와 γ의 좋은 초기값을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Variationally diagonalized Hamiltonian이 고정 깊이 회로로 정확한 장기 양자 다이나믹스를 제공할 수 있는가?
• RQ2 VHD 비용 함수가 충실도 측면에서 운용적 의미를 가지며 종료 기준을 보장할 수 있는가?
• RQ3 locality 가정 하에서 VHD 비용 경사는 n이 커져도 얕은 배런 플래토를 벗어나고 학습 가능성을 유지하는가?
• RQ4 VFF 사전 학습이 VHD 실행 전에 양자 자원 요구를 얼마나 효과적으로 줄이는가?
• RQ5 XY Heisenberg 체인과 같은 대표 모델의 빠른 진행 다이나믹에 VHD가 실용적으로 얼마나 잘 작동하는가?

주요 결과

• VHD는 시간 진동 e^−iHt를 최대 시간 T까지 근사하기 위해 고정 깊이 양자 회로를 생성하여 V(T)=W e^{−iDT} W†를 얻는다.
• VHD 비용은 평균 시뮬레이션 충실도와 연결된 경계를 제공하여 의미 있는 종료 조건을 가능하게 한다.
• locality 조건(local a-local H and local D) 아래에서 그래디언트 분산은 n에 대해 지수적으로 소실되지 않아 얕은 깊이의 배런 플래토를 피한다(정리 1).
• 1D XY 모델에 대한 수치 실험은 최적화 후 VHD가 비용을 1e−9 미만(n=3), 1e−8(n=4), 1e−5(n=5)로 감소시킴을 보여준다.
• VFF로의 사전 학습은 초기 비용을 줄이고 수렴 속도를 높이지만, 전체 VHD 최적화는 H를 정확히 대각화하여 Trotter 오차를 추가로 제거한다.
• VHD를 사용한 빠른 진행 시뮬레이션은 n=3–5 양자 비트에서 약 10^3까지의 시간에 대해 평균 무충실도가 10^−3 미만으로 유지되어, 단독 VFF보다 우수하다.