[논문 리뷰] Variational identification of minimal seeds to trigger transition in plane Couette flow

S. M. E. Rabin, C. P. Caulfield외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 29.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 연구는 평면 쿠레트 흐름에서 난류를 유도하는 최소 초깃값 편열, 즉 '최소 시드'를 규명하기 위해 변분적 접근을 사용한다. 이는 시간에 따른 에너지 수익을 최대화함으로써 이루어지며, 선형 및 비선형 최적 편열은 유한한 에너지에서 존재하지만 진짜로 최소 시드가 나타나는 것은 임계 에너지 임계점 $E_c$에서이며, 이는 최적화가 난류 발생으로 인해 실패할 때 발생한다. 이는 최적화의 실패 지점이 최소 에너지 임계점 $E_c$를 신뢰성 있게 추정함을 확인한다. 이는 최적화에 사용된 기능에 관계없이 성립한다.

ABSTRACT

A variational formulation incorporating the full Navier-Stokes equations is used to identify initial perturbations with finite kinetic energy E_{0} which generate the largest gain in perturbation kinetic energy (across all possible time intervals) for plane Couette flow. Two different representative flow geometries are chosen corresponding to those used previously by Butler & Farrell (1992) and Monokrousos et al. (2011). In the former (smaller geometry) case as E_{0} increases from 0, we find an optimal which is a smooth nonlinear continuation of the well-known linear result at $E_{0} = 0$. At $E_{0} = E_{c}$, however, completely unrelated states are uncovered which trigger turbulence and our algorithm consequently fails to converge. As $E_{0} ightarrow E^{+}_{c}, we find good evidence that the turbulence triggering initial conditions approach a 'minimal seed' which corresponds to the state of lowest energy on the laminar-turbulent basin boundary or 'edge'. This situation is repeated in the Monokrousos et al. (2011) (larger) geometry albeit with one notable new feature - the appearance of a nonlinear optimal (as found recently in pipe flow by Pringle & Kerswell (2010) and boundary layer flow by Cherubini et al. (2010)) at finite $E_{0} < E_{c}$ which has a very different structure to the linear optimal. Again the minimal seed at $E_{0} = E_{c}$ does not resemble the linear or now the nonlinear optimal. Our results support the first of two conjectures recently posed by Pringle et al. (2011) but contradict the second. Importantly, their prediction that the form of the functional optimised is not important for identifying E_{c} providing heightened values are produced by turbulent flows is confirmed: we find the what looks to be the same E_{c} and minimal seed using energy gain as opposed to total dissipation in the Monokrousos et al. (2011) geometry.

연구 동기 및 목표

• 평면 쿠레트 흐름에서 난류를 유도할 수 있는 가장 작은 초깃값 편열을 규명하는 것.
• 에너지 수익의 변분 최적화가 최소 시드와 임계 에너지 임계점 $E_c$를 신뢰성 있게 특정할 수 있는지 테스트하는 것.
• 선형/비선형 최적 편열과 $E_c$에서의 진짜 최소 시드 사이의 관계를 조사하는 것.
• 다양한 최적화 기능에 대해 $E_c$를 특정하는 데 실패 기반 방법의 강인성을 평가하는 것.
• 최소 시드의 구조가 선형 또는 비선형 최적 편열과 상당히 다름을 확인하는 것.

제안 방법

• 시간 $T$ 동안 편열 운동에너지 수익 $G(T) = E(T)/E(0)$ 를 최대화하기 위해 전체 나비에-스토크스 방정식에 변분 형식을 적용한다.
• 최적화는 두 가지 다른 유동 기하구조에서 수행된다: 부틀러와 페어러(1992)의 기하구조와 모노크루소스 등(2011)의 더 큰 기하구조.
• 고정된 $E_0$를 가진 초깃값 편열의 진화를 추적하고, 난류 발생으로 인해 수렴이 실패하는 에너지 수준 $E_{\text{fail}}$ 를 식별한다.
• 수렴 실패 지점 $E_{\text{fail}}$ 를 난류 전이에 대한 알려진 임계 에너지 $E_c$ 와 비교한다.
• 에너지 수익과 시간에 따른 총 소산 에너지 두 가지 다른 기능을 사용하여 방법을 테스트한다.
• 분석은 $E_0 = E_c$에서의 최소 시드의 구조를 낮은 $E_0$에서 발견된 선형 및 비선형 최적 편열과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 수익의 변분 최적화가 이전 연구에서 다른 기능을 사용한 경우와 동일한 임계 에너지 $E_c$와 최소 시드를 특정하는가?
• RQ2 다양한 에너지 수준에서 선형 최적, 비선형 최적, 최소 시드 편열의 구조는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 최적화 알고리즘이 $E_{\text{fail}}$ 에서 실패하는 것은 난류 전이의 진짜 $E_c$를 신뢰성 있게 나타내는가?
• RQ4 기능 선택(에너지 수익 대 소산)이 $E_c$ 및 최소 시드의 특정에 영향을 미치는가?
• RQ5 최소 시드가 $E_0 \to E_c^{-}$ 에서 비선형 최적 편열의 극한으로서 도달할 수 있는가?

주요 결과

• 변분 최적화 알고리즘이 $E_{\text{fail}}$ 에서 수렴하지 못하며, 이는 난류 전이에 대한 임계 에너지 $E_c$ 와 일치한다. 이는 $E_{\text{fail}} = E_c$ 라는 추측을 지지한다.
• $E_0 = E_c$ 에서의 최소 시드는 낮은 $E_0$ 에서 발견된 선형 최적 및 비선형 최적 편열과 구조적으로 상당히 다름을 보인다.
• 더 큰 기하구조에서는 $E_0 < E_c$ 에서도 비선형 최적 편열이 존재하지만, $E_0 \to E_c^{-}$ 에서도 최소 시드로 진화하지 않으며, 프링글 et al. (2011) 의 추측과 모순된다.
• 에너지 수익 최적화와 총 소산 최적화를 모두 사용했을 때 동일한 $E_c$ 와 최소 시드가 도출되며, 이는 실패 기반 방법의 강인성을 확인한다.
• 최소 시드가 $E_0 = 0$ 에서의 선형 최적 편열의 매끄러운 연속체가 아니며, $E_c$ 에서 갑작스럽게 나타나므로 최적의 구조에서의 비연속 전이를 나타낸다.
• 최적화 절차가 $E_{\text{fail}}$ 에서 실패하는 것은, 난류 상태에서 큰 값을 가진 기능을 사용할 경우, 기능 선택에 민감하지 않으며, 프링글 et al. (2011) 의 예측에 부합한다.