[논문 리뷰] Variational principles and finite element Bloch analysis in couple stress elastodynamics

Nicolás Guarín‐Zapata, Juan Gómez외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 15.

Acoustic Wave Phenomena Research참고 문헌 55인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주기적 고체(포논 결정)에서의 커플드 스트레스 탄성역학을 위한 변분 유한요소 프레임워크를 개발한다. 고차 도함수를 다루기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 확장된 블로흐-주기적 형식을 적용한다. 연구 결과, 마이크로폴라 효과가 강한 파동 분산을 유도하며, 미세구조 치수와 재료 길이 척도 ℓ가 일치할 경우 다공성 재료에서 조절 가능한 금역대를 형성함을 밝혀냈다.

ABSTRACT

We address the numerical simulation of periodic solids (phononic crystals) within the framework of couple stress elasticity. The additional terms in the elastic potential energy lead to dispersive behavior in shear waves, even in the absence of material periodicity. To study the bulk waves in these materials, we establish an action principle in the frequency domain and present a finite element formulation for the wave propagation problem related to couple stress theory subject to an extended set of Bloch-periodic boundary conditions. A major difference from the traditional finite element formulation for phononic crystals is the appearance of higher-order derivatives. We solve this problem with the use of a Lagrange-multiplier approach. After presenting the variational principle and general finite element treatment, we particularize it to the problem of finding dispersion relations in elastic bodies with periodic material properties. The resulting implementation is used to determine the dispersion curves for homogeneous and porous couple stress solids, in which the latter is found to exhibit an interesting bandgap structure.

연구 동기 및 목표

• 일致적인 커플드 스트레스 이론(C-CST)을 위한 주파수 도메인에서의 변분 원리를 개발하기 위해.
• C-CST의 곡률 기반 운동학에서 유래하는 고차 도함수를 다룰 수 있도록 유한요소 방법을 확장하기 위해.
• 힘/트랙션과 토크-트랙션/회전 제약 조건을 모두 포함하는 확장된 블로흐-주기적 경계 조건을 통합하기 위해.
• 마이크로폴라 효과를 고려한 주기적 세포 구조 재료에서의 분산 관계를 정확하게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 다공성 커플드 스트레스 고체에서 분산성 비틀림파에 의해 유도되는 금역대의 발생을 조사하기 위해.

제안 방법

• 주파수 도메인에서 C-CST의 축소된 파동 방정식에 대해 정적 상관 작용 원리를 수립한다.
• 두 번째 도함수에서 요구하는 C1 연속성을 확보하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 혼합 유한요소 형식을 적용한다.
• 변위, 회전, 트랙션, 토크-트랙션 자유도를 모두 포함하는 확장된 블로흐 경계 조건을 구현한다.
• 유도된 일반화된 고유값 문제를 풀어 파수 의존성 분산 관계를 계산한다.
• 베이글 표기법과 등가형 요소를 사용하며, 일관된 보간을 위해 명시적 형태 함수 도함수를 적용한다.
• 메esh 세분화에 따른 수렴 분석을 통해 균일한 및 다공성 세포 유닛에서 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 도함수를 포함하는 커플드 스트레스 탄성역학에 대해 변분 원리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 마이크로폴라 효과가 주기적 재료에서 파동 분산과 금역대 형성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 라그랑주 승수 기반 유한요소가 다공성 세포 구조 고체에서 분산성 비틀림파를 정확하게 포착할 수 있는가?
• RQ4 내재된 길이 척도 ℓ가 다공성 커플드 스트레스 재료에서 금역대 형성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 역학적 자유도와 토크 응력은 포논 결정의 블로흐 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 라그랑주 승수 기반 유한요소 구현은 균일한 세포에서 비분산성 P-파와 분산성 SV-파를 모두 정확하게 포착하여 정확도를 확인하였다.
• 수렴 분석 결과 최적의 수렴 속도를 보이며, 라그랑주 승수 접근법을 통한 C1 연속성 강제의 타당성을 검증하였다.
• 원형 구멍을 가진 다공성 세포에서는 미세구조 길이 척도 ℓ가 구멍 지름과 유사할 경우 뚜렷한 금역대 구조가 나타남을 확인하였다.
• ℓ/a ≈ 1일 때, 분산성 SV-파와 비분산성 P-파의 군속도가 일치함에 따라 P-파 및 SV-파 분지의 교차 부근에 금역대가 형성됨을 관찰하였다.
• 다공성 증가에 따라 금역대 너비가 증가하며, 비차원화 주파수 Ω가 낮을 때 완전한 금역대를 달성할 수 있음을 확인하였다.
• 결과는 마이크로폴라 효과—특히 길이 척도 ℓ—가 고전적 탄성론에서 예측하지 못한 치수 의존성 파동 제어를 가능하게 함을 입증하였다.