[논문 리뷰] Variational principles for topological entropies of subsets

De‐Jun Feng, Wen Huang|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 위상동역계에서 부분집합의 Bowen 및 패킹 위상 엔트로피를 불변 및 비불변 측도의 측도론적 엔트로피와 연결하는 변분 원리를 수립한다. 임의의 공집합이 아닌 컴팩트 부분집합 $K$에 대해 Bowen 엔트로피 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$는 $\mu(K)=1$인 모든 Borel 확률측도 $\mu$에 대한 하한 측도론적 엔트로피 $\underline{h}_{\mu}(T)$의 상한과 일치하며, 마찬가지로 패킹 엔트로피는 상한 엔트로피를 사용한다. 이러한 결과는 약간의 조건 하에 해석적 집합으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Let $(X,T)$ be a topological dynamical system. We define the measure-theoretical lower and upper entropies $\underline{h}_μ(T)$, $\bar{h}_μ(T)$ for any $μ\in M(X)$, where $M(X)$ denotes the collection of all Borel probability measures on $X$. For any non-empty compact subset $K$ of $X$, we show that $$\htop^B(T, K)= \sup \{\underline{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}, $$ $$\htop^P(T, K)= \sup \{\bar{h}_μ(T): μ\in M(X),\; μ(K)=1\}. $$ where $\htop^B(T, K)$ denotes Bowen's topological entropy of $K$, and $\htop^P(T, K)$ the packing topological entropy of $K$. Furthermore, when $\htop(T)

연구 동기 및 목표

• 위상동역계의 비불변 컴팩트 및 해석적 부분집합에 대해 고전적 위상 엔트로피 변분 원리를 확장하기 위해.
• 특히 $T$-불변이 아닐 수 있는 임의의 Borel 확률측도 $\mu \in M(X)$에 대해 측도론적 하한 및 상한 엔트로피 $\underline{h}_{\mu}(T)$ 및 $\overline{h}_{\mu}(T)$를 정의하고 분석하기 위해.
• 컴팩트 및 해석적 부분집합 $K \subset X$에 대해 Bowen의 위상 엔트로피 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$ 및 패킹 위상 엔트로피 $h_{\rm top}^{P}(T,K)$에 대한 변분 원리를 수립하기 위해.
• 해석적 집합에서 위상 엔트로피의 행동을 조사하여, 해석적 집합의 엔트로피가 그 컴팩트 부분집합들에 대한 엔트로피의 상한임을 보여주기 위해.
• 비불변 집합에 대해 $h_{\rm top}^{B}(T,K) > 0$이지만 모든 $T$-불변 측도 $\mu$에 대해 $\mu(K) = 0$일 수 있는 문제를 해결하기 위해, 일반 측도 $M(X)$로 초점을 이동시키기 위해.

제안 방법

• 점별 엔트로피 $\underline{h}_{\mu}(T,x)$ 및 $\overline{h}_{\mu}(T,x)$를 기반으로, Bowen 거리 $d_n$ 하에서 $n$-구근 이웃의 측도의 渐近 감쇠 비율을 통해 측도론적 하한 및 상한 엔트로피 $\underline{h}_{\mu}(T)$ 및 $\overline{h}_{\mu}(T)$를 정의한다.
• Bowen 거리 $d_n(x,y) = \max_{0 \leq k < n} d(T^k x, T^k y)$를 사용하여 $d_n$-거리에서 $\epsilon$-구의 덮개 및 패킹을 통해 집합 $K$의 엔트로피를 정의한다.
• 컴팩트 $K$에 대해, 중첩된 컴팩트 집합 $K_i$ 위에 지지된 측도 $\mu_i$의 재귀적 구성과 제어된 엔트로피 감쇠를 통해 $h_{\rm top}^{B}(T,K) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(K) = 1 \}$을 증명한다.
• 해석적 집합 $Z$에 대해, 컴팩트 부분집합 $K \subset Z$ 위에 지지된 약한-* 수렴 측도 $\tilde{\mu}$의 존재를 확보하고, 정규화된 $\mu = \tilde{\mu}/\tilde{\mu}(K)$에 대해 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$임을 보인다.
• 해석적 집합 $Z$에 대해, 코시 대각선 논법과 중첩된 컴팩트 집합을 사용하여 topological entropy $h_{\rm top}^{B}(T,Z)$가 모든 컴팩트 $K \subset Z$에 대한 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$의 상한임을 증명한다.
• 무한곱 $\prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$의 성질을 이용하여 척도 간 측도 왜곡을 제어하고, $j > i$에 대해 $\mu_i(F_i) \leq C \mu_j(F_i)$를 만족하는 균일 상수 $C$의 존재를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비불변 컴팩트 집합 $K$에 대해, $\mu(K)=1$인 일반 Borel 확률측도 $\mu$의 측도론적 엔트로피를 사용하여 Bowen의 위상 엔트로피 $h_{\rm top}^{B}(T,K)$에 대한 변분 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 상한 측도론적 엔트로피 $\overline{h}_{\mu}(T)$를 사용할 때, 패킹 위상 엔트로피 $h_{\rm top}^{P}(T,K)$에 대한 변분 원리가 컴팩트 집합 $K$에 대해 성립하는가?
• RQ3 특히 $h_{\rm top}(T) < \infty$일 때, 컴팩트 집합에서의 변분 원리를 해석적 부분집합 $Z$로 확장할 수 있는가?
• RQ4 해석적 집합 $Z$의 위상 엔트로피는 그 컴팩트 부분집합들의 엔트로피의 상한과 같은가?
• RQ5 특히 $T$-불변 측도가 $Z$에 대해 영측도를 부여할 경우, 해석성은 고전적 변분 원리를 비컴팩트 $T$-불변 집합으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 공집합이 아닌 컴팩트 부분집합 $K \subset X$에 대해 Bowen 위상 엔트로피는 $h_{\rm top}^{B}(T,K) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(K) = 1 \}$를 만족하며, 하한 측도론적 엔트로피를 사용한 변분 원리를 수립한다.
• 임의의 해석적 부분집합 $Z \subset X$에 대해 패킹 위상 엔트로피는 $h_{\rm top}^{P}(T,Z) = \sup \{ h_{\rm top}^{P}(T,K) : K \subset Z \text{ 컴팩트} \}$를 만족하며, 해석적 집합의 엔트로피가 그 컴팩트 부분집합들에 의해 결정됨을 보여준다.
• $h_{\rm top}(T) < \infty$일 때, Bowen 엔트로피에 대한 변분 원리는 해석적 집합으로까지 확장된다: $h_{\rm top}^{B}(T,Z) = \sup \{ \underline{h}_{\mu}(T) : \mu \in M(X), \mu(Z) = 1 \}$이며, 이는 $Z$가 $T$-불변이 아니어도 성립한다.
• 상한 측도론적 엔트로피 $\overline{h}_{\mu}(T)$는 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$를 만족하며, 이는 $s$가 집합 $Z$의 엔트로피이고, 컴팩트 부분집합 $K \subset Z$ 위에 지지된 구성된 측도 $\mu$에 대해 성립한다. 이는 엔트로피 상한을 달성하는 측도의 존재를 증명한다.
• 엔트로피 감쇠 $\mu_i(\overline{B}(x,\gamma_i)) \sim e^{-m_i(x)s}$와 균일 왜곡 상한 $C = \prod_{n=1}^\infty (1 + 2^{-n}) < \infty$를 제어하는 조건 하에, 측도 $\mu_i$의 시퀀스를 구성함으로써 약한-* 수렴 측도 $\tilde{\mu}$의 존재를 보장하며, $\tilde{\mu}(K) \in [1, 2C]$임을 보인다.
• 모든 $z \in K$에 대해 $k_i \to \infty$를 만족하는 수열 $k_i$가 존재하여 $\mu(B_{k_i}(z,\epsilon)) \leq C e^{-k_i s} / \tilde{\mu}(K)$임을 보이고, 이는 $\overline{h}_{\mu}(T) \geq s$를 의미하며, 패킹 엔트로피에 대한 변분 원리를 증명한다.