[논문 리뷰] Variational principles of nonlinear magnetoelastostatics and their correspondences

Basant Lal Sharma, Prashant Saxena|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 11.

Vibration Control and Rheological Fluids참고 문헌 40인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비선형 자화탄성정역학에서 다섯 가지 변분 원리를 유도하고 비교하며, 레지오트르 변환과 맥스웰 방정식을 통해 그 상호 등가성을 확립한다. 모든 수식 체계에서 일관된 분기 방정식을 도출하여, 경계 조건과 맥스웰 응력 텐서가 자석 에너지가 유한 영역 또는 무한 영역에서 정의되는지에 따라 결정된다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We derive the equations of nonlinear magnetoelastostatics using several variational formulations involving the mechanical deformation and an independent field representing the magnetic component. An equivalence is also discussed, modulo certain boundary integrals or constant integrals, between these formulations using the Legendre transform and properties of Maxwell's equations. The second variation based bifurcation equations are stated for the incremental fields as well for all five variational principles. When the total potential energy is defined over the infinite space surrounding the body, we find that the inclusion of certain term in the energy principle, associated with the externally applied magnetic field, leads to slight changes in the Maxwell stress tensor and associated boundary conditions. On the other hand, when the energy contained in the magnetic field is restricted to finite volumes, we find that there is a correspondence between the discussed formulations and associated expressions of physical entities. In view of a diverse set of boundary data and nature of externally applied controls in the problems studied in the literature, along with a equally diverse list of variational principles employed in modeling, our analysis emphasizes care in the choice of variational principle and unknown fields so that consistency with other choices is also satisfied.

연구 동기 및 목표

• 비선형 자화탄성정역학에서 다수의 변분 수식을 사용하여 일관된 평형 및 분기 방정식을 유도하기.
• 레지오트르 변환과 발산 정리 적용을 통해 본질적으로 다른 것처럼 보이는 변분 원리들 간의 등가성을 확립하기.
• 자화, 자석장, 스칼라 포텐셜 중 어떤 독립 변수를 선택하느냐가 경계 조건과 응력 텐서에 미치는 영향을 명확히 하기.
• 자석 에너지를 유한 영역 또는 무한 영역에서 정의할 경우 맥스웰 응력 텐서와 관련 경계 조건에 미치는 영향을 분석하기.
• 다양한 모델링 선택 사항 간의 일관성을 보장하는 안정성 분석을 위한 통합 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 자화(단위 부피, 단위 질량, 그리고 장 기반 변형)를 바탕으로 한 세 가지 수식과, 전자탄성정역학과 유사한 자석장 및 스칼라 포텐셜을 사용한 두 가지 수식을 포함한 다섯 가지 다른 변분 수식의 총 잠재에너지의 일阶 미분을 유도한다.
• 체적 적분을 경계 적분으로 변환하기 위해 발산 정리를 적용하여 평형 및 분기 방정식 유도 가능하게 한다.
• 레지오트르 변환을 사용하여 자화 기반 수식과 장 기반 수식 간의 등가성을 입증한다.
• 변형과 자석장의 변화에 대한 증분 분기 방정식을 도출하기 위해 에너지 함수의 이阶 미분을 유도한다.
• 맥스웰 응력과 자석 밀도의 변화를 각각 나타내는 보조 텐서(eT 및 ev0)를 도입한다.
• 선형화된 평형 방정식이 도출된 분기 조건을 재현함으로써 일관성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자화, 자석장, 스칼라 포텐셜에 기반한 서로 다른 변분 원리는 비선형 자화탄성정역학에서 어떻게 동일한 평형 방정식을 도출하는가?
• RQ2 레지오트르 변환을 통한 변분 수식 간의 등가성을 확립할 때 경계 적분과 상수 항의 역할은 무엇인가?
• RQ3 자석 에너지를 유한 영역이 아닌 무한 영역에서 정의할 경우 맥스웰 응력 텐서의 형태와 관련 경계 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 각 변분 수식의 이阶 미분에서 도출된 증분 분기 방정식은 무엇이며, 안정성 분석과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 변형과 자석장 변화에 대한 편미분 방정식은 평형 방정식의 선형화로부터 일관되게 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 다섯 가지 변분 수식은 경계 적분 또는 상수 항의 모듈로 등가이며, 레지오트르 변환과 맥스웰 방정식의 성질을 통해 등가성이 입증된다.
• 자석 에너지가 무한 영역에서 정의될 경우 외부 자석장 항을 포함함으로써 맥스웰 응력 텐서가 변화하고 경계 조건이 수정된다.
• 유한 영역 수식에서는 변분 원리와 물리적 양(예: 응력, 자화 밀도) 사이에 직접적인 대응 관계가 존재하여 모델링의 일관성이 보장된다.
• 이阶 미분은 모든 다섯 수식에 대해 일관된 분기 방정식을 도출하며, 증분 필드는 선형화된 평형 및 경계 조건을 만족한다.
• 맥스웰 응력 텐서의 변형(△Pm)과 자석 밀도의 변형(△B)은 유도된 텐서 eT 및 ev0를 통해 변형과 자석장의 변화와 엄밀히 연결된다.
• 평형 방정식의 선형화는 도출된 분기 조건을 재현하여 이阶 미분 접근법의 일관성과 타당성을 확인한다.