[논문 리뷰] Variational problems of nonlinear elasticity theory in certain classes of mappings with finite distortion

Anastasia Molchanova, S. K. Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 27.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 탄성 이론에서 변분 문제의 최소화자 존재성을 입증하기 위해, $ W^1_n(\Omega) $ 내의 사상들 중 비틀림이 유한하고 비틀림 특성 $ M(x) \in L_s(\Omega) $, $ s > n-1 $ 가 적분 가능함을 만족하는 새로운 적합한 변형의 클래스를 도입함으로써 성립한다. 저장 에너지 함수의 다각형 볼록성과 강제성 조건 하에서, 보완된 컴팩턴스와 마줄의 보조정리에 기반하여 약한 하방 연속성과 해의 존재성을 증명하며, 발발(Ball)의 프레임워크를 더 엄격한 적분 가능성 및 성장 조건에서 벗어나 확장한다.

ABSTRACT

We study the problem of minimizing the functional $$ I(φ)=\int\limits_Ω W(x,Dφ)\,dx $$ on a new class of mappings. We relax summability conditions for admissible deformations to $φ\in W^1_n(Ω)$ and growth conditions on the integrand $W(x,F)$. To compensate for that, we impose the finite distortion condition and the condition $\frac{|Dφ(x)|^n}{J(x,φ)} \leq M(x) \in L_{s}(Ω)$, $s>n-1$, on the characteristic of distortion. On assuming that the integrand $W(x,F)$ is polyconvex and coercive, we obtain an~existence theorem for the problem of minimizing the functional $I(φ)$ on a new family of admissible deformations. KEYWORDS: functional minimization problem, nonlinear elasticity, mapping with finite distortion, polyconvexity.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $ W^{1,p} $ 공간에서 $ p > n $ 라는 조건을 초월하여 비선형 탄성 이론에서 최소화자 존재 이론을 확장하기.
• 저장 에너지 함수와 변형 기울기의 강제성 및 적분 가능성 조건을 완화하기.
• 더 강력한 적분 가능성 가정의 대체로, 비틀림이 유한하고 비틀림 특성 $ M(x) \in L_s(\Omega) $, $ s > n-1 $ 를 만족하는 조건을 도입하기.
• 특히 잠재적으로 특이행렬을 가질 수 있지만 비틀림이 제어되는 사상이 포함된 새로운 적합한 변형의 클래스에서 최소화자 존재성을 입증하기.
• 다각형 볼록성과 컴팩턴스 추론을 이용하여, 이러한 완화된 조건 하에서 에너지 함수의 약한 하방 연속성을 확립하기.

제안 방법

• 비틀림이 유한하고 $ \frac{|D\varphi(x)|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $, $ s > n-1 $ 를 만족하는 사상들로 구성된 새로운 적합한 변형의 클래스 $ \mathcal{A} $ 를 정의한다.
• 저장 에너지 함수 $ W(x,F) $ 에 대해 다각형 볼록성을 도입하여, $ F $, $ \operatorname{Adj}F $, 및 $ \det F $ 의 볼록 함수로 표현될 수 있음을 보장한다.
• 강제성 조건을 $ W(x,F) \geq \alpha(\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + (\det F)^r) + g(x) $ 의 형태로 설정하며, 여기서 $ p > n-1 $, $ q \geq p/(p-1) $, $ r > 1 $, $ g \in L_1(\Omega) $ 이다.
• 최소화 사상의 수열에서 수렴하는 볼록 조합을 추출하기 위해 마줄의 보조정리를 적용한다. 이 수열은 $ W^1_n \times L_{n/(n-1)} \times L_r $ 내에서 약하게 수렴한다.
• 파투의 보조정리와 표현 함수 $ G $ 의 볼록성을 활용하여 에너지 함수의 순차적 약한 하방 연속성을 증명한다.
• 비틀림 제어와 단사성 추론을 통해 경계 조건 하에서 경계값이 단사함수일 경우, 극한 사상 $ \varphi_0 $ 가 $ J(x,\varphi_0) > 0 $ a.e. 에서 성립하고, 단사함수임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저장 에너지 함수에 대한 더 약한 적분 가능성 및 성장 조건 하에서 비선형 탄성 이론에서 최소화자 존재성을 입증할 수 있는가?
• RQ2 비틀림 조건과 함께 $ M(x) \in L_s(\Omega) $, $ s > n-1 $ 이 성립할 경우, 자코비언을 제어하고 해의 존재성을 보장하는 데 충분한가?
• RQ3 이러한 일반화된 설정 하에서 다각형 볼록성과 강제성 조건을 이용하여 에너지 함수의 약한 하방 연속성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 경계 데이터가 단사함수일 경우, 강제성 조건이 완화되어도 해가 단사함수인가?
• RQ5 클래식한 발발의 존재 이론을 $ p > n $ 조건 없이 $ W^1_n(\Omega) $ 내의 사상으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 다각형 볼록성과 강제성 조건 하에서, $ p = n $ 일 때조차도 기능적 $ I(\varphi) = \int_\Omega W(x,D\varphi)\,dx $ 에 대해 $ \varphi_0 \in \mathcal{A} $ 가 최소화자로 존재함을 입증하였다.
• 비틀림 특성 $ \frac{|D\varphi|^n}{J(x,\varphi)} \leq M(x) \in L_s(\Omega) $, $ s > n-1 $ 가 $ D\varphi $ 에 대한 더 강력한 적분 가능성 가정을 대체하며, 이로 인해 $ W^1_n $-사상의 사용이 가능해졌다.
• 파투의 보조정리와 표현 함수 $ G $ 의 볼록성을 이용하여 에너지 함수의 약한 하방 연속성을 증명하였으며, 이는 $ I(\varphi_0) \leq \varliminf_{k\to\infty} I(\varphi_k) $ 를 보장한다.
• 극한 사상 $ \varphi_0 $ 는 $ \Omega $ 에서 거의 모든 곳에서 $ J(x,\varphi_0) > 0 $ 를 만족하며, 경계 조건이 단사함수일 경우 $ \varphi_0 $ 는 단사함수이다.
• Ogden 형 재료에 대해서도, $ W_1(F) \geq \alpha\|F\|^p + \|\operatorname{Adj}F\|^q + c(\det F)^r + d(\det F)^{-s} $ 를 만족할 경우, $ p = n $ 일 때조차도 적용 가능하다.
• 이 프레임워크는 발발의 존재 이론을 $ \det F \to 0_+ $ 일 때 $ W(F) \to \infty $ 가 필요로 하지 않는 경우에도 확장하며, 새로운 비틀림 제어 조건 하에서 존재성이 여전히 성립함을 보여준다.