[논문 리뷰] Variational Quantum Continuous Optimization: a Cornerstone of Quantum Mathematical Analysis

Pablo Bermejo, Román Orús|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 블로흐 구 파라미터(두 각도와 한 반지름)를 사용해 각 큐비트당 최대 세 개의 연속 변수를 인코딩하는 변분 양자 알고리즘을 제안한다. 이는 NISQ 장치에서 연속 도메인 함수의 직접적인 아날로그 최적화를 가능하게 하며, 127큐비트로 381차원 함수를 처리할 수 있도록 하며, 시뮬레이션 결과로는 분석에 몇 분 내로 상대 오차가 10⁻⁴ 미만임을 확인했다. 이는 푸리에 분석, 다중 적분, 미분 방정식 등 복잡한 수학 작업에 대해 높은 정밀도를 달성한다.

ABSTRACT

Here we show how universal quantum computers based on the quantum circuit model can handle mathematical analysis calculations for functions with continuous domains, without any digitalization, and with remarkably few qubits. The basic building block of our approach is a variational quantum circuit where each qubit encodes up to three continuous variables (two angles and one radious in the Bloch sphere). By combining this encoding with quantum state tomography, a variational quantum circuit of $n$ qubits can optimize functions of up to $3n$ continuous variables in an analog way. We then explain how this quantum algorithm for continuous optimization is at the basis of a whole toolbox for mathematical analysis on quantum computers. For instance, we show how to use it to compute arbitrary series expansions such as, e.g., Fourier (harmonic) decompositions. In turn, Fourier analysis allows us to implement essentially any task related to function calculus, including the evaluation of multidimensional definite integrals, solving (systems of) differential equations, and more. To prove the validity of our approach, we provide benchmarking calculations for many of these use-cases implemented on a quantum computer simulator. The advantages with respect to classical algorithms for mathematical analysis, as well as perspectives and possible extensions, are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨터에서 연속 수학적 분석을 위한 실용적인 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 연속 함수를 위한 양자 알고리즘에서 디지털 이산화의 한계를 극복하기 위해.
• 디지털화 없이도 NISQ 장치가 미분 방정식을 해결하는 것과 같은 복잡한 미적분 작업을 수행할 수 있음을 입증하기 위해.
• 연속 변수 최적화를 기반으로 한 수학적 분석을 위한 양자 도구상자를 구축하기 위해.
• 고차원 문제에서 빠르고 안정적인 성능을 보이는 것으로 확인하기 위해 고전적 시뮬레이션을 통해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 각 큐비트는 블로흐 구의 두 각도(θ, φ)와 반지름(r)을 통해 최대 세 개의 연속 변수를 인코딩하여, 연속 함수 파라미터의 아날로그 표현을 가능하게 한다.
• 함수의 최소화 또는 최대화를 위해 양자 상태 단층 촬영을 사용해 변분 양자 회로를 최적화한다.
• 연속 최적화는 푸리에 급수를 포함한 임의의 급수 전개를 계산하기 위한 기초로 사용되며, 급수 계수를 양자 최적화로 구한다.
• 푸리에 계수는 변분 최적화를 통해 계산되며, 이는 이후 적분, 미분, 미분 방정식의 해법 등 다양한 작업을 가능하게 한다.
• 라그랑주 승수를 사용해 제약 조건 최적화 문제로 공식화함으로써, 이 방법은 연립 미분 방정식, 편미분 방정식, 적분-미분 방정식 등으로 일반화된다.
• 고전적 시뮬레이션을 사용해 알고리즘을 벤치마킹하였으며, 14큐비트로 최대 28개의 연속 변수를 가진 문제에서 빠른 수렴과 높은 정밀도를 입증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 매개변수 인코딩을 가진 변분 양자 회로는 디지털 이산화 없이 고차원 연속 최적화를 수행할 수 있는가?
• RQ2 NISQ 장치에서 이 알고리즘은 임의의 함수에 대해 푸리에 급수 계수를 얼마나 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 이 연속 최적화 프레임워크는 연립 미분 방정식과 다차원 적분을 해결하는 데까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 접근법은 고차원 문제에 대해 고전적 시뮬레이션에서 성능와 확장성은 어떠한가?
• RQ5 현재의 노이즈가 많은 양자 하드웨어에서 이 방법은 수학적 분석 작업에서 실질적인 양자 우월성을 보여줄 수 있는가?

주요 결과

• 8큐비트, 11모드, 80메쉬 포인트를 사용해 [1,2] 범위의 비선형 미분 방정식을 풀었을 때 상대 오차 약 10⁻⁴를 달성했다.
• 연립 미분 방정식 시스템의 경우 12큐비트, 7모드, 60메쉬 포인트로 10⁻¹에서 10⁻² 범위의 오차를 기록했으며, 결과는 몇 분 내로 도출되었다.
• 고전적 시뮬레이션 결과, 이 알고리즘은 단 몇 초 내로 14큐비트로 최대 28개의 연속 변수를 가진 함수를 최적화할 수 있었다.
• 이 방법은 디지털 이산화 없이도 다차원 정적분과 푸리에 전개를 직접 아날로그로 계산할 수 있다.
• IBM-Q System One와 같은 127큐비트 양자 프로세서는 이 프레임워크를 사용해 381차원 연속 함수의 수학적 분석을 수행할 수 있다.
• 알고리즘의 히우리스틱 성격 덕분에 노이즈에 강건하여, 근접한 NISQ 장치에 대한 실현 가능성과 높아졌다.