[논문 리뷰] Variational Quantum Eigensolver with Constraints (VQEC): Solving Constrained Optimization Problems via VQE

Thinh Viet Le, Vassilis Kekatos|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변분 양자 고유값 해법(Variational Quantum Eigensolver, VQE)을 확장하여 제약 조건이 있는 최적화 문제를 해결할 수 있도록 하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 VQEC를 제안한다. 이 알고리즘은 편경을 가진 원-이중 최적화 방법을 통해 동시에 양자 회로의 원변수 파라미터와 이중 라그랑주 승수를 최적화한다. 반복적 파arameter 회로를 활용하여, 확률 단체 위의 QCBO, 스토하스틱 이진 정책, 대규모 선형 프로그래밍 문제에 대해 높은 품질의 해를 달성하며, 수치 결과는 반복적 파라미터화로 인해 수렴성과 해의 품질이 향상되었음을 보여준다.

ABSTRACT

Variational quantum approaches have shown great promise in finding near-optimal solutions to computationally challenging tasks. Nonetheless, enforcing constraints in a disciplined fashion has been largely unexplored. To address this gap, this work proposes a hybrid quantum-classical algorithmic paradigm termed VQEC that extends the celebrated VQE to handle optimization with constraints. As with the standard VQE, the vector of optimization variables is captured by the state of a variational quantum circuit (VQC). To deal with constraints, VQEC optimizes a Lagrangian function classically over both the VQC parameters as well as the dual variables associated with constraints. To comply with the quantum setup, variables are updated via a perturbed primal-dual method leveraging the parameter shift rule. Among a wide gamut of potential applications, we showcase how VQEC can approximately solve quadratically-constrained binary optimization (QCBO) problems, find stochastic binary policies satisfying quadratic constraints on the average and in probability, and solve large-scale linear programs (LP) over the probability simplex. Under an assumption on the error for the VQC to approximate an arbitrary probability mass function (PMF), we provide bounds on the optimality gap attained by a VQC. Numerical tests on a quantum simulator investigate the effect of various parameters and corroborate that VQEC can generate high-quality solutions.

연구 동기 및 목표

• 변분 양자 알고리즘에서 체계적인 제약 조건 이행의 부족을 해결하기 위해, 특히 NISQ 시대의 양자 하드웨어에 적합하게.
• 라그랑주 이중성과 원-이중 최적화를 활용하여 제약 조건을 VQE에 체계적으로 통합하는 방법을 개발하기 위해.
• 이중 제약 조건이 있는 문제, 예를 들어 이차 제약 이진 최적화(QCBO), 스토하스틱 정책 설계, 확률 단체 위의 대규모 선형 프로그래밍 문제를 해결할 수 있도록 하기 위해.
• VQC 근사 오차 가정 하에 변분 양자 해와 진짜 최적 해 사이의 성능 격차를 분석하기 위해.
• 다양한 문제 유형에 걸쳐 IBM의 시뮬레이터를 사용한 양자 시뮬레이션을 통해 알고리즘의 강인성과 수렴성을 평가하기 위해.

제안 방법

• VQEC는 목적 함수와 제약 조건을 이중 변수를 통해 결합한 라그랑주 함수를 사용하여 제약 조건이 있는 최적화 문제를 수식화한다.
• 편경을 가진 원-이중(PPD) 방법을 사용하여 변분 양자 회로(VQC) 파라미터와 이중 라그랑주 승수 양쪽 모두에 대해 고전적 최적화를 수행한다.
• PPD 방법은 라그랑주 함수의 엄격한 볼록성/볼록성 조건을 필요로 하지 않도록, 원-이중 변수를 편경된 점에서 갱신하여 수렴성을 보장한다.
• 비용과 제약 조건 관측량의 양자 측정을 동시에 수행하여 오버헤드를 최소화하며, 기울기 추정을 위해 파라미터 시프트 규칙을 활용한다.
• VQC의 표현력과 해 품질을 향상시키기 위해 VQC의 반복적 파라미터화(L > 1)를 지원한다.
• 이 알고리즘은 QCBO, 확률적 제약 이진 정책, 확률 단체 위의 대규모 선형 프로그래밍 문제 등 대각 관측량 문제에 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 패널티 방법에 의존하지 않고도 하이브리드 양자-고전 알고리즘이 변분 양자 최적화에서 제약 조건을 효과적으로 이행할 수 있는가?
• RQ2 표준 원-이중 또는 패널티 기반 접근 방식과 비교할 때, 편경을 가진 원-이중 방법이 제약 조건이 있는 VQE에서 수렴성과 해 품질을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 VQC의 반복적 파라미터화가 제약 조건이 있는 문제에 대한 VQEC의 해 품질을 어느 정도 향상시키는가?
• RQ4 목표 확률 질량 함수를 주어진 오차 범위 내에서 VQC가 근사할 수 있다고 가정할 때, VQEC 해의 최적성 격차는 어떻게 되는가?
• RQ5 양자 시뮬레이터를 사용하여 VQEC가 확률 단체 위의 대규모 선형 프로그래밍 문제에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 반복적 VQC 파라미터 수 L=3을 사용한 VQEC는 대규모 LP 문제의 9개 테스트 인스턴스 중 8개에서 상대 오차가 20% 이하로 나타나, L=1에 비해 뚜렷이 뛰어난 성능을 보였다.
• 편경을 가진 원-이중(PPD) 방법은 표준 PD 방법 대비 최대 50%의 상대 오차 감소를 기록했으며, 반복마다 추가 측정 샷이 한 번뿐이었다.
• VQEC는 QCBO 및 스토하스틱 QCBO 문제에 대해 높은 품질의 해를 성공적으로 생성했으며, 기대치와 확률적으로 제약 조건을 만족시켰다.
• 해 품질과 수렴 속도는 VQC 파라미터화에 민감했다: 과소 또는 과도한 파라미터화된 회로는 성능을 떨어뜨렸다.
• 고정된 단계 크기와 시뮬레이터 시드를 사용하여 10개의 서로 다른 대규모 LP 인스턴스에서 강인성을 입증했으며, 500회 반복 후 일관된 수렴을 보였다.
• 이론적 분석 결과, VQEC의 최적성 격차는 VQC가 목표 확률 질량 함수를 근사하는 데 드는 오차에 비례하며, 가정 3 하에 성립한다.